2020年全国统一全国3卷理科高考数学试卷

（全国新课标Ⅲ）

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx},B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．6

2．复数

1的虚部是 13i3 10B．

A．1 10C．

1 10D．

3 1043．在一组样本数据中,1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2,p3，p4，且

本的标准差最大的一组是( )

A．p1p40.1,p2p30.4 C．p1p40.2，p2p30.3

pi1i1,则下面四种情形中，对应样

B． p1p40.4,p2p30.1 D．p1p40.3，p2p30.2

4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)*K1e0.23(t53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)0.95K时，标

志已初步遏制疫情，则t约为(ln193）( ）

A．60

B．63

C．66

D．69

25．设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:y2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则的焦点坐标为( )

A．(,0)

14B．(,0)

12C．(1,0) D．(2,0)

6．已知向量a,b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab （ )

A．31 35B．19 35C．

17 35D．

19 357．在△ABC中，cosC1A．

92,AC4，BC3，则cosB（ ) 31B．

31C．

22D．

3

8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ）

A．642

B．442

C．623

D． 423

9．已知2tantan7，则tan( ）

4

A．2

B．1

C．1

D．2

2210．若直线l与曲线yx和圆xy1相切，则l的方程为（ ） 5 A．y2x1 B．y2x1 2C．y1x1 2D．y11x 22x2y211.已知双曲线C:221a0,b0的左右焦点F1,F2，离心率为5.P是C上的一点，且F1PF2P。若

abPF1F2的面积为4，则a( ）

A． 1 B．2

C．4

D．8

12．已知5584,13485.设alog53，blog85，clog138，则（ ）

A．abc

B．bac

C．bca

D． cab

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

xy013．若x，y满足约束条件2xy0，则z3x2y的最大值是 ．

x1214．(x2)6的展开式中常数项是 (用数字作答）.

x15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 16．关于函数fxsinx1． sinx①fx的图像关于y轴对称;②fx的图像关于原点对称；

③fx的图像关于x对称；④fx的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ． 2

三、填空题：本题共6题，17~21每题12分,22题10分。

17。（12分）设数列{an}满足a13，an13an4n.

（1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2）求数列{2nan}的前项和Sn.

18．（12分）

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 0,200 200,400 400,600 空气质量等级 1（优） 2(良） 3（轻度污染) 2 5 6 16 10 7 25 12 8 4（中度污染）

7 2 0 (1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下列的22列联表,并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好 空气质量不好

n(adbc)2附:K

(ab)(cd)(ac)(bd)2人次≤400 人次＞400 P(K2k) 0.050 0.025 0。010 k 3.841 5.024 6.635

19．（12分）

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E，F分别在棱DD1，BB1上且2DEED1，BF2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内;

（2）若AB2,AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值．

15x2y220．（12分）已知椭圆C:21(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左右顶点.

425m

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BPBQ,求△APQ的面积．

21。设f(x)x3bxc,xR，曲线f(x)在点，f()处的切线与y轴垂直.

1212（1）求b；

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明：f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.

（二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）

2x2tt,（t为参数且t1）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，C与坐标轴交于A，B两点． 2y23tt（1）求AB；

（2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

22．［选修4—5：不等式选讲］（10分)

设a,b,cR，abc0,abc1. （1)证明:abbcca0；

（2）用maxa,b,c表示a,b,c的最大值，证明：maxa,b,c34．