高数前3章测试题及答案

一、 填空

ex1,x01．f(x)在x=0处可导，则a ，b （1，2）

axb,x02．已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3) -1 2h2x1t3.曲线在t2处的切线方程为 y83(x5)

3yt4. 抛物线y4xx2在其顶点处的曲率为_______________2

5. 设f(x)x(x1)(x2)(xn)，则f(0)_______________n!

x36. 曲线y的渐近线方程是______________________

2x17. 设f(x0)存在，则limh01x

2f(x0)f(x0h) f(x0)

h33lnx3228. 曲线y的拐点坐标为 ( e,e) 2x329．函数y2x6x18x7的极大值点为 ，极小值点为 x1,x3

10．．设y=y(x)由方程eyxye所确定，则y(0)（ ）.

二、选择

x121．lim(。（D） )=（ ）

xx1 （A）1

1（B）e2x （C）0 （D）e1

2．设函数yasinxsin3x在x=

133处取得极值，则a（ ）C

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．下列命题不正确的是 c A、非零常数与无穷大之积是无穷大。 B、0与无穷大之积是无穷小。 C、无界函数是无穷大。 D、无穷大的倒数是无穷小。

x3ax4l，则 。4．若lim（C）

x1x1

1

（A）a6,l3 （B）a6,l3 （C）a3,l6 （D）a3,l6

12x,x2在x2处可导，则必有 B 5设f(x)2axb,x2A、ab2 B、a=2,b2 C、a=1, b=2 D、a=3, b=2

x2axb2，则 B 6. 若lim2x1xx2A、a=2,b=4 B、a=4, b=-5 C、a=1, b=-2 D、a=-4, b=5

7,设f(x)在x0处可导，则limh0f(x0h)f(x0h) B hA、f'(x0) B、2f'(x0) C、0 D、f'(2x0)

8.若limf(x)c,则 A xA、yf(x)有水平渐近线yc B、yf(x)有铅直渐近线xc C、f(x)c D、f(x)为有界函数

9.若limf(x)a，则必有_____C

xx0A、f(x)在x0点连续； B、f(x)在x0点有定义； C、f(x)在x0的某去心邻域内有定义； D、af(x0)

1xsin,x010. f(x)在x0处____B x0,x0A、 不连续； B、连续但不可导； C、可导，但导数在该点不连续； D、导函数在该点连续

sinxx,x0x11 .设f(x)0,x0，则x=0是f(x)的 C 1xcos,x0x（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点

12. 设f(x)在xx0处连续且f(x0)不存在，则yf(x)在(x0,f(x0)) 处 （D）

（A）没有切线 （B）有一条不垂直 x轴的切线

（C）有一条垂直x轴的切线 （D）或者不存在切线或者有一条垂直于x轴的切线。 13.若f(x)0,则= C

2

（A）f(2)f(1)f(2)f(1) (B)f(2)f(1)f(2)f(1) (C) f(2)f(2)f(1)f(1) 14. 设(D) f(1)f(2)f(1)f(2)

（A）与是等价无穷小； （B）是比高阶的无穷小 （C）是比低阶的无穷小； （D）与是同阶无穷小 1x,13x,当x1时 （D） 1x15. 已知limf(x)limg(xf(x)xaxa),则limxag(x) D （A）1 （B）0 （C） （D）不能确定

三。计算 1求下列极限

（1）lim1cosxxarctanxx1x22x1； （2）limx0ex31 （4）lim1x1(lnx1x1) （5）Limx(13xx)2 sin2ln(11)(7)Limx （8）x01xsinx1limxxarctanx

2．求下列导数或微分 （1） 设y3(x2)2(12x)(1x)，求dy。

xtln(1t)d2 （2）yyt3t2，求dx2。 （3）y(xsin1x)x，求dy。 （4）设xya，求隐函数yy(x)的二阶导数d2 ydx2。

(5)设f(x)=x,x0ln(1x),x0求f'(0)

（6）设xf(x)tf'(t)f(t)，f(t)存在且不为0，求d2yydx2

3

（1）limeaxebx(3) x0x(6) Limexsinx1x011xln(13xxlim)ln(12x)

（９）(7) yln(xx21),求dy

xxt(8) 设f(t)limt，求f(t)

xxt(9). 设yxtanx，求y （10）已知y1xexy,求yx0

（11）设(x)在xa处连续，求f(x)(xa)(x)在xa处的导数。 （12）设yx，求y

（13）设yf2(x)f(x2),f(x)具有二阶导数，求y

x2d2y.（14）求由方程y1xe所确定的隐函数的二阶导数.

dx2y3. 设yx34x2，求y的单调区间，凸区间，极值及拐点。

四、证明题

1.设f(x)C[0,1],f(x)D(0,1)，且f(0)f(1)0,f()1，证明： （1）存在(,1)，使f() ［ F(x)f(x)x］ （2） 对任意实数，必存在(0,)，使f()[f()]1 ［G(x)ex1212F(x)ex(f(x)x)］

2.若f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)f(0)0,F(x)x2f(x)，

证明：在（0，1）内至少存在一点，使得F()0 3. 证明：当x0时,e(1x)1cosx

4.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)1,f(1)0,求证在（0，1）内至少有一点，使f'()xf()

[(x)xf(x)]

2x5. 设f(x)满足xf(x)3x[f(x)]1e

若f(x)在xc(c0)取得极值，证明它是极小值

4

6.设f(x)可导，证明f(x)的两个零点之间一定有f(x)f(x)的零点。 ［(x)f(x)ex］

7.设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)=0，g(x)≠0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f()g()f()g()

［F(x)f(x)/g(x)］

8．设0ab，f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可微，证明：在(a,b)内至少存在一点，

使得f(b)f(a)f()ln

答案： 三计算

b a1cosxsinx2cosx2limlim1．（1）解：lim2

x1x2x1x1x12x222xarctanxex13 （2）解：limx0limx0xarctanxlimx0x3111x21

33x2eax1(ebx1)eaxebxLimab （3）解：Limx0x0xx（4）解：

111x1lnxx111xLim()LimLimLimLim x1lnxx1(x1)lnxx1x1x1xlnxx1x1lnx112x1lnxx1333/2(5)解：Lim(1)2Lim(1)32e

xxxx

xx3excosxexsinx(6)解：原式=LimLimLim1

2x0x0x0x1x/1xx2Lim2 (7)解：原式=Limx01x012xsinxx22x2excosx 5

11ln(1)ln(1)x00,limx00 （8）∵limxarctanxxarctanx22 ∴ 原极限=0

ln[3x(13x)]xln3ln(13x)limlimxln[2x(12x)]xxln2ln(12x)xln(13)（9）原极限=

ln3x=limxln(12x)ln2x

ln3 =

ln2

2．（1）解：lny[2ln(x2)ln(1x)ln(12x)] 1311212y[] y3x21x12x1(x2)2212 y[]1/3[]

3(12x)(1x)x21x12xdy3t22t （2）解：3t25t2

1dx11td2y(6t5)(1t)(6t2)

1tdx2(1)1t （3）解：lnysinx[lnxln(1x)] 111ycosx[lnxln(1x)]sinx() yxx1xsinxxsinx]() 1xx(x1)1x y[cosxln（4）两端对x求导：

12x12yy0  yyx

6

x y12yyyx12xxyxyy 3/23/22x2xy1ln(1x)ln1(5)解：f(0)LimLimln(1x)x1，

x0x0x f(0)Limx0x01 f(0)1 xdyf'(t)tf''(t)f'(t)d2ydx1（6）解： t,21/dtf''(t)dxf''(t)dx(7）解：y'1xx112(12x2x1x2)

1x12xxt∴dyxx12(1x12)dx2dx

x2txt（8）解：f(t)limttlim1xxxtxtxt2tte2t，故

f(t)te(9)解：y=(etanxlnx(12t)e2t2t

)etanxlnx(tanxlnx)=xtanx(sec2xlnxtanx) x

(10)解：yexyxexy(yxy)

当x0时，y1，y（11）解：∵limx01

f(ax)f(a)(axa)(ax)(aa)(a)lim

x0x0xxx(ax)lim(ax)(a) =limx0x0x ∴f(a)(a)

（12）解：两边取对数：lnylnxxx2lnx

两边对x求导：∴yxx22yy2xlnx12xx(12lnx) x1(2lnx1)

7

（13）y2f(x)f(x)f(x2)2x

y2[f(x)]22f(x)f(x)2f(x2)4x2f(x2)

3. 解：定义域为(,0)(0,)

令y'180驻点x2,不可导点x0, 3xy''240 4x∴单调增区间为(,0),(2,)，单调减区间为（0，2），极小值为f(2)3，

凹区间为(,0),(0,)，无拐点。

四、1.（1）证明：令F(x)f(x)x，则F(x)C[0,1],F(1)10,F(1/2)1/20

故(1/2,1)，使得F()f()0，即f()

（2）证明：设G(x)exF(x)ex(f(x)x)，则

G(x)C[0,],G(x)D(0,)，G(0)0,G()eF()0

由罗尔定理：(0,),使G()0，即

ef()[f()]10

即 f()[f()]1

2. 证：f(x)在[0,1]上二阶可导,F(x)在[0,1]上二阶可导

又F(1)f(1)0,F(0)0,1(0,1),使得F(1)0

又F(x)2xf(x)xf(x),F(0)0,(0,1)(0,1),使得F()0 3、证：令f(x)e(1x)1cosx,f(0)0

x2f'(x)ex1sinx,f'(0)0,f''(x)excosx0(x0)

8

 f'(x)单调增,故当x0时,f'(x)f'(0)0 ,故f(x)f(0)0,x0  f(x)单调增4、证：设(x)xf(x)，则(x)C[0,1],(x)D(0,1)

且(0)(1)0,由罗尔定理得:()0,(0,1) 即：f()f()0f()5.∵f(x)在xc处取极值，∴f(c)0

f()

1ec0,故f(c)为极小值 又f(c)c6. 设(x)f(x)ex，x1,x2为f(x)的两个零点，亦为(x)的零点。又f(x)可导，故

(x)可导。由罗尔定理，(x1,x2)或(x2,x1)，使得()0，即

[f()f()]e0f()f()0

7. 设F(x)f(x)/g(x)

∵g(x)≠0，且f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 ∴F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 又 F(a)f(a)g(a)0,F(b)f(b)g(b)0

∴ 由罗尔定理知，在(a,b)内至少存在一点，使F()0 而 F(x)[f(x)g(x)f(x)g(x)]/g(x) ∴ 由F()0得到f()g()f()g()

2 9