自控课程设计用MATLAB进行控制系统的超前校正设计

摘要 ........................................................................................................................................................................................ - 0 - 1超前校正的原理和方法 ...................................................................................................................................................... - 0 -

1.1超前校正的原理 ....................................................................................................................................................... - 0 - 1.2超前校正的应用 ....................................................................................................................................................... - 3 - 2控制系统的超前校正设计 .................................................................................................................................................. - 4 -

2.1初始态分析 ............................................................................................................................................................... - 4 - 2.2超前校正分析及校正 ............................................................................................................................................... - 9 -

2.2.1校正装置参数的选择与计算 ........................................................................................................................ - 9 - 2.2.2校正后的验证 .............................................................................................................................................. - 11 - 2.2.3校正对系统性能改变的分析 ...................................................................................................................... - 15 -

3.总结 ................................................................................................................................................................................... - 17 - 参考文献............................................................................................................................................................................... - 18 -

摘要

用MATLAB进行控制系统的超前校正设计是对所学的自动控制原理的初步运用。本课程设计先针对校正前系统的稳定性能，用MATLAB画出其根轨迹、奈奎斯特曲线及伯德图进行分析，是否达到系统的要求，然后对校正装置进行参数的计算和选择，串联适当的超前校正装置。最后用MATLAB对校正前后的系统进行仿真分析，校正后的系统是否达到要求，并计算其时域性能指标。

关键词： 超前校正 根轨迹 伯德图 仿真

用MATLAB进行控制系统的超前校正设计

1超前校正的原理和方法

1.1超前校正的原理

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所谓校正，就是在调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，达到设计要求。

无源超前网络的电路如图1所示。

如果舒服信号源的内阻为零，输出端的负载阻抗视为无穷大，那么超前网络的传递函数可以表示为：

aGc（s）=1aTs1Ts R1R2RR1T12CR2R1R2 ，

上式中，

a通常情况下，a为分度系数，T为时间常数，根据式（2-1），当我们采用无源超前网络进行串联校正的时候，整个系统的开环增益会下降a倍，所以需要提高放大器的增益来进行补偿。

图1 无源超前网络电路图

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（cs）同时，根据上式，我们可以得到无源超前网络aG的对数频率特性。超前网络对频

率在1/aT至1/T之间的信号有这明显的微分作用，在该频率段内，输出信号相角比输入信号相角超前，这也即是超前校正网络名称的由来。

在最大超前角频率m处，具有最大超前角m。

超前网络的相角为：

（c）=arctgaTarctgT

将上式对求导并且令其为零，得到最大超前角频率：

m1/Ta

将上上式代入上式，得最大超前角：

a1a1arcsina1 2amarctg同时还容易得到mc。

最大超前角m仅仅与衰减因子a有关，a值越大，超前网络的微分效果越强。但是a的最大值还受到超前网络物理结构的制约，通常情况下，a取为20左右，这也就意味着超前网络可以产生的最大相位超前约为65°，如果所需要的大于65°的相位超前角，那么就可以采用两个超前校正网络串联实现，并且在串联的两个网络之间加入隔离放大器，借以消除它们之间的负载效应。

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武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

所以通过以上的分析发现，利用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。只要正确的将超前网络的交接频率1/aT或1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并适当的选择参数a和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善系统的动态性能，使校正后的系统具有以下特点：

1、 低频段的增益满足稳态精度的要求；

2、 中频段对数幅频特性的斜率为-20db/dec，并且具有较宽频带，使系统具有满足的动态性能；

3、 高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声的影响。

1.2超前校正的应用

系统的闭环稳态性能要求，可通过选择已校正系统的开环增益来保证。用频域法设计无源超前网络的步骤如下：

1、 根据稳态误差要求，确定开环增益K；

2、 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；

3、 根据截止频率c的要求，计算a和T。令mc，以保证系统的响应速度，并

mc充分利用网络的相角超前特性。显然，成立的条件是：

m（c） ；

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c）=LL（（cm）=10lga；

根据上式不难求出a值，然后由式（2-3）确定参数T。

4、 验算已校正系统的相角裕度。验算时，由式上式求得m，再由已知的c算出

）（cc待校正系统在时的相角裕度。最后，按照下式计算，

m（c）

如果验算结果不满足指标要求，说明需要重新选择m，一般情况下是使m增大，然后重复上述步骤。

2控制系统的超前校正设计

2.1初始态分析

本次课程设计的初始条件为用MATLAB进行控制系统的超前校正设计，已知一单位反馈系统的开环传递函数是：

Ks(10.05s)(10.5s)

G(s)45要求系统跟随2r/min的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，。

由本次课程设计要求，首先根据已知条件调整开环增益。

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因为题目要求在2r/min的斜坡输入下，所以R=12

122K

又因为

ess因此，选取K=6（rad）-1 ，则待校正的系统开环传递函数为

6s（1+0.05s）（1+0.5s）

G（s）=上式为最小相位系统，用MATLAB画出系统的伯德图，相应程序为：

num=[6]；

den=[0.025，0.55，1，0]；

bode（num，den）

grid

得到的图形如图2所示，

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图2校正前的系统伯德图

然后应用MATLAB求校正前的相角裕度和幅值裕度，相应程序为：

num=[6]；

den=[0.025，0.55，1，0]

sys=tf（num，den）

margin（sys）

[gm，pm，wg，wp]=margin（sys）

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得到的图形如图3所示，

图3 校正前系统的裕度图

由上图可得:

相角裕度Pm=23.3deg

截止频率c=3.17r/s

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幅值裕度Gm=11.3dB

用MATLAB画出其根轨迹，相应的程序段为：

num=[6]；

den=[0.025,0.55,1,0]；

rlocus（num，den）；

Title（ 控制系统的根轨迹）

得到如图4所示根轨迹，

图4 校正前的系统根轨迹图

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2.2超前校正分析及校正

2.2.1校正装置参数的选择与计算

对于本题目系统，试选取mc4rad/s，可得：

c）=20lg|G（j）L（|=-3.64dB

c）=L（（cm）=10dB， 由L解得a=2.3

由m1/Ta，

解得 T=0.165S

因此超前传递函数为：

10.38s10.165s

2.3G（cs）=为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高2.3倍，否则将不能保证稳态误差要求。

超前网络的参数确定后，已校正系统的开环传递函数为：

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G（cs）G（s）=（61+0.38s）s（1+0.5s）（1+0.05s）（1+0.165s）

显然，已校正系统的c=4rad/s，算得待校正系统的（c）=15.3°，而由式（2-4）得：

m23.2°

故已校正系统的相角裕度为：

m（c）=38.5°<45°

发现不满足要求，说明c取得还不够大，试取c=4.5rad/s，同上可得

c）=20lg|G（jc）|=-5.54dBL（

解得：

a=3.6

T=0.117

因此，此时超前传递函数为：

10.421s10.117s

3.6G（cs）= - 10 -

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为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.6倍，否则不能保证稳态误差要求。

确定参数后，已校正系统的开环传递函数为：

6（10.421s）s（1+0.5s）（1+0.05s）（10.117s）

G（cs）G（s）=>45所以，已校正系统m（c）=45.7°°，c=4.5rad/s，从而得到：

（）c=11.3°

而由式（2-4）可算出m34.4°，故已校正系统的相角裕度为：

45.7m（c）°>45°

45可见，其满足系统跟随2r/min的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，的题目

要求。

2.2.2校正后的验证

以下，应用MATLAB软件来对所设计的超前校正装置参数进行验证。

程序为：

num=[2.526,6];

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dun=[0.003,0.09,0.667,1,0];

sys=tf[num,den];

margin(sys)

[gm,pm,wg,wp]=margin(sys)

得到的图形如图5所示，

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图5 校正后系统的裕度图

相角裕度：Pm=45.3deg；

截止频率：c=4.52rad/s；

幅值裕度：Gm=14.2dB

满足要求。

用MATLAB画出其伯德图

程序为：

num=[2.526,6];

den=[0.003,0.09,0.667,1,0];

bode(num,den);

grid

得到如图6所示图形，

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图6 校正后系统的伯德图

用MATLAB画出校正后的根轨迹，

程序为：

num=[2.526,6];

den=[0.003,0.09,0.667,1,0];

rlocus(num,den);

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Title( 控制系统根轨图)

所得图形如图7所示，

图7 校正后系统的根轨迹图

2.2.3校正对系统性能改变的分析

用MATLAB画出校正前后系统的单位阶跃响应。

程序为：

num1=[6];

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den1=[0.025,0.55,1,0];

num3=[2.526,6];

den3=[0.003,0.09,0.667,1,0];

t=[0;0.25;5]

[numc1,denc1]=cloop(numc1,denc1)

y1=step(numc1,denc1,t)

[numc3,denc3]=cloop(numc3,denc3)

y3=step(numc3,denc3,t)

plot(t,[y1,y3]);

grid

gtext( 校正前)

gtext( 校正后)

得到的图形如图8所示，

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图8 系统校正前后的单位阶跃响应图

由上图可以明显的得出以下结论：

1、 加入超前校正装置后，校正后系统的调节时间大大减小，这在一定程度上提升了系统的响应速度；

2、 校正后系统的超调量明显减少，阻尼比增大，动态性能得到改善。

3、 校正后系统的上升时间减少很多，从而也在一定程度上提升了系统的响应速度。

所以，综合以上，可见串联超前校正装置后，明显的提升了系统的动态性能指标，增加了系统的稳定性。

3.总结

转眼间，一个多星期过去了，而在这一个多星期内，我们完成了两个课程设计，时间

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显得多多少少有些紧凑，当然，这也许是这个学期过得最充实的一个星期了。做课程设计不再像平时作业上解一个问题那么简单，平时你只需要结果正确基本就没多大问题，然而课程设计你却需要全方面的考虑问题，而你得到结果的途径又是多手段的，但是无论哪种途径你都要清楚每一步步骤。这次课程设计既可以看做是对以往知识的总结与回顾，又可以看做是在学习新的知识，因为这里面有需要学习的新内容。

首先拿到题目以后当然是要对课本知识的再学习和更深刻的理解，和做题目不一样，在做课设时需要全方面的考虑问题，而不是单纯的算出一个结果，虽然自控实验我们也做完了，但是我感觉仅仅是靠平时在课堂和做实验时学到的东西还是远远不够的，特别是对于这个题目需要应用MATLAB进行仿真，虽然以前有接触过MATLAB，但是时间一长基本都已经忘记了，又要开始重新学习，这显然是一个很痛苦的过程。虽说这个过程并不算是多么的漫长或艰难，但是这种经历确实能让我们养成一种不断探索的科学研究精神，我想对于工科学生这个是很重要的。我想课程设计很大的一方面原因也是为了提高我们的自学意识和自学能力，通过这次课设，我感觉自己的自学能力和查阅资料的能力确实得到了提高，上网搜索确实方便快捷，但是图书馆的珍藏书籍也是必不可少的，当然，请教一些知识丰富的同学或者老师更会让你事半功倍。

通过本次课程设计，不但学习巩固了自控方面的相关知识，而且还学会一些新的知识，激发了自己的对专业知识的学习兴趣，对更深层次的知识也有了更高的探索欲望。

参考文献

[1] 胡寿松 .自动控制原理（第四版）.北京：科学出版社，2002

[2] 王万良 .自动控制原理.北京：科学出版社，2001

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[3] 黄坚 .自动控制原理及其应用.高等教育出版社，2004

[4] 邹伯敏 .自动控制理论.北京：机械工业出版社，2006

[5] 李素玲. 自动控制原理.西安：西安电子科技大学出版社，2007

[6] 刘叔军. MATLAB7.0控制系统应用与实例.北京：机械工业出版社，2006

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