高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典

型例题(共7页)

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高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第一部分：椭圆

1． 椭圆的概念

在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a标准方程 x2y2＋＝1 (a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 性 质 轴 焦距 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c 离心率 ce＝∈(0,1) ac2＝a2－b2 a，b，c的关系

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典型例题

例，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知ABC的周长是16，A(3,0)，B(3,0), 则动点的轨迹方程是( )

x2y2x2y2x2y2x2y21 (B)1(y0) (C)1 (D)1(y0) (A)2516251616251625x2y2例3. 若F(c，0)是椭圆221的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则

ab椭圆上与F点的距离等于

Mm的点的坐标是( ) 2b2b2(A)(c，) (B)(c,) (C)(0，±b) (D)不存在

aax2y2例4. 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭

ab圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( ) (A)

3622 (B) (C) (D) 2323x2y21上，F1、F2是两个焦点，若PF1PF2，则P点的坐标是 . 例5 P点在椭圆4520

例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为(3,0),(3,0),并且经过点(2，1); .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为(3,0),(3,0),且短轴是长轴的; ____. (4)离心率为

3，经过点(2，0); . 213x2例7 F1、F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1||PF2|的最大值

4是 ．

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第二部分：双曲线

1． 双曲线的概念

平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当ac时，P点不存在． 2． 双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2－＝1 (a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的实虚轴 虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

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典型例题

例8.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

x2y21有相同渐近线的双曲线的方程是( ) 例9. 过点(2，-2)且与双曲线2x2y2y2x2x2y2y2x21 (B)1 (C)1 (D)1(A)42422424

x2例10. 双曲线y21(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足PF1PF22n2,则nPF1F2的面积为( )

1(A)1 (B) (C)2 (D)4

2例11. 设ABC的顶点A(4,0)，B(4,0)，且sinAsinBsinC，则第三个顶点C的轨迹方程是________.

x2y2y2x2例12. 连结双曲线221与221(a＞0，b＞0)的四个顶点的四边形面积为S1，连结四

abba12个焦点的四边形的面积为S2，则

S1的最大值是________． S2例13.根据下列条件，求双曲线方程:

x2y21有共同渐近线，且过点(-3，23)； ⑴与双曲线916x2y21有公共焦点，且过点(32，2). ⑵与双曲线164

y21上两点A、B，AB中点M（1，2） 例14 设双曲线x22⑴求直线AB方程；

⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

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第三部分：抛物线

1． 抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质

标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 O(0,0) y＝0 x＝0 焦点 pF，0 2pF－，0 2e＝1 pF0， 2pF0，－ 2离心率 准线方程 px＝－ 2px＝ 2py＝－ 2py＝ 2范围 开口方向 x≥0，y∈R 向右 x≤0，y∈R 向左 y≥0，x∈R 向上 y≤0，x∈R 向下

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典型例题

例15. 顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是( ) (A)x2=8y (B)x2=

8y (C)y2=8x (D)y2=

8x

例16. 抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) (A)17 (B)15 (C)7 (D)0

16168例17.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )

(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条

例18. 过抛物线yax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则

11等于( ) pq14 (C)4a (D) 2aa例19. 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )

1(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(，1) (D)(0，0)

2例20. 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .

例21. 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.

(A)2a (B)

例22. 以抛物线x23y的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.

例23. 过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的倾斜角的范围是 .

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例题答案

例1. D 例2. B 例3. C.例5. B.例7. (3,4) 或(-3, 4)

x2x2y2x2y2x2y2x2y22y1或1或1; (2) 1;(3)1; 例8. (1)

92516162563981x2x2y2|PF1||PF2|22)a24 y1或1.例9. |PF1||PF2|≤( (4)

24416x2y211(x2) 例18. 例11. B 例13. D 例16. A例17.

2412x2y2x2y21;⑵1 例19.⑴941284例20.⑴直线AB：y=x+1

⑵设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故

圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

yx1由2y2得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3

1x2yx32由2y2得：x+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）

1x2则x0x3x43,y0x036∴ M（-3，6） 212∴ |MC|=|MD|=|CD|=210又|MA|=|MB|=210∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，210为半径的圆上 例21. B(

p2,p4即x22py8y) 例22. B 2例23. B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。) 例24. C作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，

1则p=q=|FK|而|FK|,

2a11224a

1pqp()2a例25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例26. x2=8y 例27. －p2

366例28.x2(y)29 例29.[0,arctan][arctan,)

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