也谈对2013年高考江西理第20题的探究

２０１４年第１０期　数学教学　１ｏ一２９　也谈对２０１　３年高考江西理第２Ｏ题的探究　１０２２００北京市昌平区第一中学　张全合何　苗　１０２２００北京市昌平实验中学何　爽　２０１３年全国高考江西卷理科第２０题看似　平常，其实内涵极为丰富，大有挖掘价值，还可　以把椭圆中推广得到的结论类比到双曲线与抛　物线中去，美不胜收．　一、试题再现　题目：如图１，椭圆ｃ：　ａ　＋　Ｄ　＝ｌ（ａ＞ｂ　，　＞０）经过点Ｐ（１，　），离心率ｅ＝去，直线２的　方程为　＝４．　Ｊ　ｌＪ，　Ｍ　ｊ　，　图１　ｆ１）求椭圆Ｃ的方程；　ｆ２）ＡＢ是经过右焦点Ｆ的任一弦（不经　过点Ｐ），设直线ＡＢ与直线ｌ相交于点Ｍ，　记Ｐ　、ＰＢ、ＰＭ的斜率分别为　ｌ、ｋ２、ｋ３．　问：是否存在常数　，使得　１＋ｋ２＝Ａｋ３７若　存在，求入的值；若不存在，说明理由．　程略１．解：（　１）椭圆　的方程为　＋警：１（过　（２）由（１）知，Ｆ（Ｉ，０），设点Ａ（ｘｌ，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，　Ｙ２），直线ＡＢ的方程为Ｙ＝ｋ（ｘ一１），代入到　＋等＝１中，整理得（４ｋ２＋３）ｘ２—８　２　＋　４（ｋ　—３１＝０．　于是　１＋　２：　８ｋ　２　ＸｌＸ２￣－而４（ｋ２－３）．　把Ｘ＝４代入Ｎｙ＝ｋ（ｘ—１）中，得Ｙ＝３ｋ，　Ｍ（４，３ｋ）．　３　３　，　３　一　：　：　：　Ｘｌ　一ｌ　Ｘ２　—ｌ　４一ｌ　＝　一壶．　ＡＦ：ｂＦ，即　：　ｌ—ｉ　：　２２—　＿．于是　３　３　一　一　１＋尼２＝——　　Ｉ一　＋——　　ＩＹｌ＋　＝　１—１。　Ｘ２　一　＼１一曼２（、　Ｘｌ　１＋一　’　　Ｘ２　１一　／）　＋　互３［　］　８ｋ　２　２一　４　２＋３　４　２＋３‘　＝２ｋ—１．　而ｋ３＝　一言，得ｋｌ－４－ｋ２＝２　３．　所以存在常数入＝２，使得　１＋　２＝Ａｋ３．　二、推广出一般性结论　ＮＮ￣ｃＮ＿，。＝２，ｂ＝　，ｃ＝１，Ｐ（１焉），　即Ｐｆｃ，　１，直线ｚ的方程为　：４，即　：一ａ．Ｚ，　恰为椭圆的右准线．从该题猜想得到：　结论１　已知点Ｐ（ｃ，等），过椭圆　：　ｘ２＋　：ｌ（ａ＞ｂ＞０）的右焦点Ｆ任作一条不与　轴垂直的直线与椭圆交于　、Ｂ两点，与椭圆　的右准线ｆ交于点Ｍ，记ＰＡ、ＰＢ、ＰＭ的斜　率分另０为　１、　２、ｋ３，贝０　ｋｌ－Ｉ－ｋ２＝２ｋ３．　证明：设点Ａ（ｘｌ，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，　２）、Ｙ（ｃ，０），　直线ＡＢ的方程为Ｙ＝ｋ（ｘ—ｃ），代入到　＋　２　“一　．ｂ２＝１中，整理得ａ　ｋ　＋ｂ２）ｘ　一２ａ　后　Ｃ．Ｘ－４－　ａ２（ｋ２ｃ２一ｂ２１＝０．于是　２ａ２ｋ２ｃ　Ｘｌ＋Ｘ２＝＝＝—ａ２ｋ２—＋ｂ２‘　１ｏ一３ｏ　数学数学　２０１４年第１０期　ＸｌＸ２　‘　把　＝ａＺ　代入到　＝ｋ（ｘ—ｃ）中，得　＝　ｋｂ２２，Ｍ（ａｋ，ｂ２）．　ｂ　ｂ２　于是ｋｌ＝—　，　２＝—　，ｋ３＝　ｋｂ２　ｂ２　５＂２ｃ＝　一　・　．　——一Ｃ　Ｃ　因为　、Ｆ、Ｂ三点共线，所以　＝ｋＡＢ＝　ｋＡＦ＝　Ｆ，即　：　：　丝＿＿．于是　ｂ２　ｂ２　１＋ｋ２＝—　＋—　＝　ｌ一　Ｃ　Ｘ＋　２　Ｃ一　　ａ一　（　Ｘ＼　１　一Ｃｌ＋　一　ｘ２　ｃ　／）　＝后＋　一　ａ［Ｌ　一（—Ｘｌｘ２　筹Ｘ　１＋　）＋　２　Ｃ　Ｃ］　Ｊ　ｂ２　＝２　一，　一　ａ２ｋ２　上　ｂ２　。　ｎ　０　（　。ｃ。一ｂ。）　２ａ　ｋ。Ｃ　ｃ＋Ｃ２　ａ２ｋ２＋６２　ａ２ｋ２＋ｂ２　２　一　５２２ｃ　＝．　：２（ｋ－　５２．矗）　＝２　３．　说明：ＦＰ．Ｌｘ轴．　三、再推广出更一般性的结论　在上面的证明中，我们保留了ｕ＿的整体，　ｈ２　０　把　换成Ｙｏ，同时把ｃ换成ｍ，显然上述证明　仍然成立，这就是说：当点Ｆ（ｃ，０）与椭圆的右　准线ｆ：Ｘ：　沿　轴同步运动起来，分别变　为Ｆ（ｍ，０）（０＜ｆｍＩ＜ａ，或『ｍｌ＞ａ）与直线ｆ：　：Ｚａ，点Ｐｆｍ，ｂ一、，　一　２１在直线　：仇　上运动起来到Ｐ（ｍ，　ｏ）的位置，上述结论　１＋　ｋ２＝２ｋ３仍然成立．又注意到未用到ａ与ｂ的　大小，于是有：　结论２　已知椭圆ｃ：　＋　＝ｌ（ａ＞０，ｂ　＞０，ａ≠ｂ）和点Ｐ（ｍ，ｙｏ）（Ｏ＜ｌｍｌ＜ａ，或ｌｍＩ＞　ａ，Ｙｏ∈Ｉｔ），过点Ｆ（ｍ，０）任作一条不与Ｘ轴垂　直的直线与椭圆交于　、Ｂ两点，与直线Ｚ：　Ｘ＝　交于点Ｍ，记Ｐ　、Ｐ　、ＰＭ的斜率　分另０为　１、　２、ｋ３，贝０　１＋　２＝２ｋ３．　四、类比到双曲线和抛物线中　把结论２类比到双曲线中，有如下的结论：　结论３　已知双曲线　：　一　＝ｌ（ａ＞　０，ｂ＞０）和点Ｐ（ｍ，ｙｏ）（ｏ＜ＩｍＩ＜ａ，或Ｉｍｌ＞ａ，　Ｙｏ∈Ｉｔ），过点Ｆ（ｍ，０）任作一条不与　轴垂直　的直线与双曲线交于　、Ｂ两点，与直线２：ｚ＝　交于点Ｍ，记ＰＡ、ＰＢ、ＰＭ的斜率分别　为　１、七２、后３，贝０　１＋ｋ２＝２ｋ３．　在椭圆的证明中以＿ｂ２代替ｂ　即可．　结论４己知抛物线Ｃ：Ｙ　＝２ｐｘ（ｐ＞０１　和点Ｐ（ｍ，ｙｏ）（ｍ≠０，Ｙｏ∈Ｉｔ），过点Ｆ（ｍ，０）任　作一条不与　轴垂直的直线与抛物线交于　Ａ、Ｂ两点，与直线２：　：一ｍ交于点Ｍ，记　Ｐ　Ｐ　ＰＭ的斜率分别为ｋｌ、　２、　３，则　１　＋ｋ２：２ｋ３．　证明ｌ：Ｆ（ｍ，０）（ｍ≠０），设点Ａ（ｘｌ，Ｙ１）、　Ｂ（ｘ２，　２），直线ＡＢ的方程为Ｙ＝ｋ（ｘ—ｍ），代　入到Ｙ　＝２ｐｘ中，整理得ｋ２ｘ　一（２ｉｎｋ　＋２ｐ）・　＋ｋ２ｍ２＝０．于是　２ｍｋ２＋２ｐ１＋　２＝＝＝—　一，，　　ｉｘ　２：ｍ２—　百一２　＂把ｘ：一ｍ代入到Ｙ＝ｋ（ｘ—ｍ）中，得Ｙ：　２　ｍ，　（一ｍ，一２ｋｉｎ）．　于是　１：　，ｋ２：—Ｙ２－Ｙｏ—，ｋ３：　Ｙｏ＋２ｋｉｎ　，．ｙｏ　—　一一　十　’　因为　、Ｆ、Ｂ三点共线，所以ｋ＝ｋＡＵ＝　ＡＦ：　ＢＦ，即　：——　：——堕＿．于是　】＋　：　＋—Ｙ２－－ＹＯ　—Ｘｌ一＂　Ｘ２一＂　：　＋　一珈ｆ—ｌ＿＋—ｌ＿１　ＸｌＸ　Ｘ２　ｍ（Ｘｌｑ－Ｘ２－－２ｍ　＝　＋　一　。Ｘｌ，ｘｌ　Ｘ２　ｍ２，　］２ｉｎｋ　２＋２ｐ—一一２ｍ　一。　。，’　２ｍｋ　２＋２ｐ　ｍ２一ｍ．——　＋ｍ２　：２（尼＋　ＹＯ）　＝２　３．　２０１４年第１０期　数学款学　１ｏ一３ｌ　ｍｓ，　＿为了使大家更好地理解结论２、结论３、　结论４，我们举例如下．　代入到　：　ｚ＋ｍ中，得　：—ｂ２『＿＿＂　例　已知抛物线Ｃ：Ｙ　＝Ｘ，点Ｐ（一２，３），　直线Ｘ＝３ｙ一２与Ｘ轴交于点Ｆ，与抛物线交　于Ａ、Ｂ两点，与直线２：Ｘ＝２交于点Ｍ，记　ＰＡ　Ｐ及ＰＭ的斜率分别为　１、　２、ｋ３，则ｋ１　＋ｋ２＝２ｋ３．　Ｍ（　于是　１：　６２　一一，后２：—Ｙ２－－—ｍ　２一　０　Ｘｌ—　０　ｍ　一——　。ｋ３＝　６２一ｍ２　一一　仃０　（６　一ｍ。）　ｂ。。２。。。。。－。。　。ｍ。。—。　’ｓ　—’—－　—‘ｋ　。。　ｍ。‘。。。ｘ。—ｏ—　解：Ｐ（一２，３），设点Ａ（Ｘｌ，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，　２），　ｏ　由直线ＡＢ的方程为　＝３ｙ一２，则直线ＡＢ过　点Ｆ（一２，０）．　把　＝３ｙ一２代入到Ｙ　＝Ｘ中，整理得　一３　＋２＝０，解得Ｙｌ＝１，Ｙ２＝２，不妨设　Ａ（１，１），Ｂ（４，２）．　又解方程组｛　－２’得Ｍ（２，詈）．　由ｋｌ＝＝＝一言ｔ）　，ｋ２＝＝＝一言０　，　３＝＝＝一　，上　得　１＋ｋ２＝一昙一去：一罢＝２ｋ３．　五、对偶推广　由于椭圆和双曲线有两条对称轴，我们可　以对偶地考虑点Ｆ（０，ｍ）（０＜Ｉ　＜ｂ，或１ｍｌ＞　ｂ）在　轴上，直线２为Ｙ＝　的情况．　ｌＩ　ｂ　２　口，２　结论５　已知椭圆　：　＋　：ｌ（ａ＞０，　ｂ＞０，ａ≠ｂ）和点Ｐ（ｘｏ，ｍ）（０＜Ｉｍ１＜ｂ，或ＩｍＩ　＞ｂ，Ｙｏ∈Ｉｔ），过点Ｆ（Ｏ，ｍ）任作一条不与ｚ轴　垂直也不与　轴垂直的直线与椭圆交于　、Ｂ　两点，与直线ｆ：　＝　交于点Ｍ，记ＰＡ，Ｐ及　ｎ　１　１　ｆ）　ＰＭ的斜率分别为ｋｌ、尼２、ｋ３，则÷＋÷＝　．　证明：因为点Ｐ（ｘｏ，ｍ），Ｆ（Ｏ，ｍ），设点　Ａ（ｘｌ，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ＡＢ的方程为Ｙ：　ｋｘ＋ｍ，代入到　Ｘ＂十　ｙ－＝１中，整理得（ｎ　。＋　ｂ２）ｘ２＋２ｋｍａ２ｘ＋０２ｍ２一ａ２ｂ２：０．　于是　十　＝一　，　。：　ａ２　ｍ　２　＿　ａ　２ｂ２—　孩　——一，，　Ｙｌ＋Ｙ２：　（十　＝＝：　【　１＋　２）＋２ｍ：　　１十　２Ｊ＋　ｍ：＝＝　－　２　丽ｋ２　ｍａ２＋２ｍ＋２ｍ：—：—ａ２　ｋ　２—￣ｂ２，，　ｙｌｙ２：尼２＝尼　１　１　２十　　２＋　ｍ（Ｘｌ＋ｘ２）十ｍ２＝—ｋ２（ａ　２ｍ　２－　ａ２ｂ２）一一　２ｋ２ｍ２ａ２＋ｍｚ＝丽－ｋ２瓣＋ｍ　＝＝＝—　ａ２ｂ２￣ｂ２ｍ２．‘　把Ｙ＝　＝＝＝　１　Ｘｌ～Ｘｏ　１Ｘ２一ＸＯ　一１　１～ｒｎ’ｋｓ　ｙ２一ｍ’　１　ｂ２一ｍ　一ｋｍｘｏ　（６２一ｍ２）　一　１　ｍｘｏ　３　６２一ｍ２　因为Ａ、Ｆ、Ｂ三点共线，所以ｋ＝ｋＡＢ＝　］ｇＡＦ　ＢＦ，即　：—Ｙｌ－－—ｍ：Ｙ２－－ｍ１——，了：—　Ｘｌ　Ｘ２　，ｃ　Ｙｌ一７ｎ　：—丝一．于是　Ｙｓ一＂　１１　Ｘｌ—ＸＯＸ２一ＸＯ　．。１。尼２　１一ｍ。　２一ｍ　：—　一＋—　Ｙｌ—　ｌｎ　２一　ｆＩ　Ｌ　—　０　ｆ、Ｙｌ—　ｌｆ—　　＋—　２一＂　１　＝　＋丢一　。　。Ｙ—ｌ＋ｍＹ（２　　－＋　２　ｍ）＋ｍ　＝＝＝－ｉ２　—　０’　ａ２ｋｓ　ｂ２—２ｍ　上　…。　一ｋＳａ２ｂ２＋ｍ２ｂ２　２ｒｏｂ２　．　。　—　广一　ａ—２ｋ２—￣ｂｓ＋　：兰一　ｋ　ｂ２——ｍ２　２　３‘　结论６　已知双曲线　：　一　ｙ２＝１（ｎ＞　０，ｂ＞０）和点Ｐ（ｘｏ，ｍ）（０＜ｌｍＩ＜ｂ，或ＩｍＩ＞ｂ，　Ｙｏ∈Ｒ），过点Ｆ（０，ｍ）任作一条不与Ｘ轴垂直　也不与Ｙ轴垂直的直线与双曲线交于　、　两　点，与直线ｆ：Ｙ＝一Ｏ交于点Ｍ，记Ｐ　、ＰＢ、　ＰＭ的斜率分别为结论２和结论６还可以推广到圆Ｘ０＋Ｙ２＝　　、　、　ｓ，则击＋　１＝　２．　ｒ　中．　参考文献　［１］张元亮．一道２０１３年江西高考题的探　究历程　．中学数学，２０１３（１１）：９０—９２．　『２］廖永明．由一道２０１３年高考题引出　的圆锥曲线的一个性质　．中学数学月刊，　２０１４（１）：５２—５３．