2018年天津市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(3分)计算(﹣3)2的结果等于( ) A．5
B．﹣5 C．9 D．﹣9
2．(3分)cos30°的值等于( ) A．
√2 2
B．
√3 2
C．1 D．√3
3．(3分)今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( ) A．0.778×105
B．7.78×104 C．77.8×103 D．778×102
4．(3分)下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A．
B． C． D．
5．(3分)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A．
B． C． D．
6．(3分)估计√65的值在( ) A．5和6之间
−
2𝑥𝑥+1
B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．(3分)计算A．1
2𝑥+3𝑥+1
的结果为( )
B．3
C．
3𝑥+1
D．
𝑥+3𝑥+1
𝑥+𝑦=108．(3分)方程组{的解是( )
2𝑥+𝑦=16
=6=5A．{𝑥 B．{𝑥𝑦=4 𝑦=6
=3C．{𝑥𝑦=6
12𝑥
=2D．{𝑥𝑦=8
9．(3分)若点A(x1，﹣6)，B(x2，﹣2)，C(x3，2)在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( ) A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1
10．(3分)如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是( )
A．AD=BD
B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB
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11．(3分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )
A．AB
B．DE C．BD D．AF
12．(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(﹣1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论： ①抛物线经过点(1，0)； 其中，正确结论的个数为( )
A．0 B．1
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13．(3分)计算2x4•x3的结果等于 ．
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；
C．2
③﹣3＜a+b＜3
D．3
14．(3分)计算(√6+√3)(√6﹣√3)的结果等于 ．
15．(3分)不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
16．(3分)将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
17．(3分)如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
18．(3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， (I)∠ACB的大小为 (度)；
(Ⅱ)在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明) ．
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三、解答题(本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19．(8分)解不等式组{
𝑥+3≥1，①
4𝑥≤1+3𝑥．②
请结合题意填空，完成本题的解答． (I)解不等式①，得 ； (l1)解不等式②，得 ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (Ⅳ)原不等式组的解集为 ．
20．(8分)某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量(单位：kg)，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(I)图①中m的值为 ；
(ll)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？
21．(10分)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，
̂的中点，求∠ABC和∠ABD的大小； (I)如图①，若D为𝐴𝐵
(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
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22．(10分)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．
23．(10分)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元． 设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)． (I)根据题意，填写下表：
游泳次数 方式一的总费用(元) 方式二的总费用(元)
10 150 90
15 175 135
20
… … …
x
(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ (Ⅲ)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
24．(10分)在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标．
(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
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25．(10分)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y=x2+mx﹣2m(m是常数)，顶点为P． (Ⅰ)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
(Ⅱ)若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
(Ⅲ)无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．
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2018年天津市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(3分)计算(﹣3)2的结果等于( ) A．5 B．﹣5
C．9 D．﹣9
【分析】根据有理数的乘方法则求出即可． 【解答】解：(﹣3)2=9， 故选：C．
2．(3分)cos30°的值等于( ) A．
√2 2
参考答案与试题解析
B．
√3 2
C．1 D．√3
√3． 2
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【解答】解：cos30°=
故选：B．
3．(3分)今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( ) A．0.778×105 B．7.78×104
C．77.8×103
D．778×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：77800=7.78×104，
故选：B．
4．(3分)下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．(3分)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，第三层右边一个小正方形，
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故选：A．
6．(3分)估计√65的值在( )
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【分析】先估算出√65的范围，再得出选项即可． 【解答】解：8＜√65＜9， 即√65在8到9之间， 故选：D．
7．(3分)计算
2𝑥+3𝑥+13
−
2𝑥
𝑥+1
的结果为( )
𝑥+3
𝑥+1
A．1 B．3 C．
𝑥+1
D．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可求出值． 【解答】解：原式=故选：C．
2𝑥+3−2𝑥𝑥+1
=
3
𝑥+1
，
𝑥+𝑦=10
8．(3分)方程组{的解是( )
2𝑥+𝑦=16
=6𝑥=3𝑥=2𝑥=5A．{𝑥𝑦=4 B．{𝑦=6 C．{𝑦=6 D．{𝑦=8
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
𝑥+𝑦=10①
【解答】解：{，
2𝑥+𝑦=16②
②﹣①得：x=6， 把x=6代入①得：y=4，
=6，
则方程组的解为{𝑥𝑦=4故选：A．
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数的解析式y=，分别求得x1，x2，x3
𝑥12
9．(3分)若点A(x1，﹣6)，B(x2，﹣2)，C(x3，2)在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
𝑥
12
的值，然后再来比较它们的大小．
【解答】解：∵点A(x1，﹣6)，B(x2，﹣2)，C(x3，2)在反比例函数y=的图象上，
𝑥12
∴x1=﹣2，x2=﹣6，x3=6； 又∵﹣6＜﹣2＜6， ∴x2＜x1＜x3；
故选：B．
10．(3分)如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是( )
A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BE=BC，根据线段的和差，可得AE+BE=AB，根据等量代换，可得答案． 【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成， ∴BE=BC． ∵AE+BE=AB，
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∴AE+CB=AB， 故D正确，
故选：D． 11．(3分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )
A．AB B．DE C．BD D．AF
【分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，依据△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于线段AF的长．
【解答】解：如图，连接CP，
由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP=CP，
∴AP+PE=CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， 此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长， 故选：D．
12．(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(﹣1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论： ①抛物线经过点(1，0)；
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根； ③﹣3＜a+b＜3
其中，正确结论的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由抛物线过点(﹣1，0)，对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y＞0，结论①错误；
②过点(0，2)作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确； ③由当x=1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点(0，3)可得出c=3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点(﹣1，0)可得出a+b=2a+c，结合a＜0、c=3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解． 【解答】解：①∵抛物线过点(﹣1，0)，对称轴在y轴右侧， ∴当x=1时y＞0，结论①错误；
②过点(0，2)作x轴的平行线，如图所示．
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∵该直线与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确； ③∵当x=1时y=a+b+c＞0， ∴a+b＞﹣c．
∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(0，3)， ∴c=3， ∴a+b＞﹣3．
∵当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0， ∴b=a+c， ∴a+b=2a+c． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a+b＜c=3，
∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确． 故选：C．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13．(3分)计算2x4•x3的结果等于 2x7 ．
【分析】单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．依此即可求解． 【解答】解：2x4•x3=2x7．
故答案为：2x7．
14．(3分)计算(√6+√3)(√6﹣√3)的结果等于 3 ． 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(√6+√3)(√6﹣√3) =(√6)2﹣(√3)2 =6﹣3 =3，
故答案为：3．
15．(3分)不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是
611
．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：．
11
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6
116
16．(3分)将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 y=x+2 ． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y=2x直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=x+2．
故答案为：y=x+2．
17．(3分)如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 √19 ． 2
【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．
【解答】解：连接DE，
∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2， ∵EF⊥AC于点F，∠C=60°， ∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°， ∴FC=EC=1，
21
故EF=√22−12=√3， ∵G为EF的中点， ∴EG=
√3， 2
∴DG=√𝐷𝐸2+𝐸𝐺2=故答案为：
√19． 2
√19． 2
18．(3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， (I)∠ACB的大小为 90 (度)；
(Ⅱ)在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明) 如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求 ．
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【分析】(I)根据勾股定理可求AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理可求∠ACB的大小；
(Ⅱ)通过将点B以A为中心，取旋转角等于∠BAC旋转，找到线段BC选择后所得直线FG，只需找到点C到FG的垂足即为P′
【解答】解：(1)由网格图可知 AC=√32+32=3√2 BC=√42+42=4√2 AB=√72+12=5√2 ∵AC2+BC2=AB2
∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形． ∴∠ACB=90° 故答案为：90° (Ⅱ)作图过程如下：
取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求
证明：连CF
∵AC，CF为正方形网格对角线 ∴A、C、F共线 ∴AF=5√2=AB
由图形可知：GC=√2，CF=2√2，
23
∵AC=√32+32=3√2，BC=√42+42=4√2 ∴△ACB∽△GCF ∴∠GFC=∠B ∵AF=5√2=AB
∴当BC边绕点A逆时针选择∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上． 由作图可知T为AB中点 ∴∠TCA=∠TAC
∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90° ∴CP′⊥GF
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此时，CP′最短
故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求
三、解答题(本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19．(8分)解不等式组{
𝑥+3≥1，①
4𝑥≤1+3𝑥．②
请结合题意填空，完成本题的解答． (I)解不等式①，得 x≥﹣2 ； (l1)解不等式②，得 x≤1 ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (Ⅳ)原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
𝑥+3≥1①
【解答】解：{
4𝑥≤1+3𝑥②
(I)解不等式①，得x≥﹣2； (l1)解不等式②，得x≤1；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
(Ⅳ)原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
20．(8分)某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量(单位：kg)，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(I)图①中m的值为 28 ；
(ll)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？ 【分析】(I)根据各种质量的百分比之和为1可得m的值； (II)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
(III)将样本中质量为2.0kg数量所占比例乘以总数量2500即可． 【解答】解：(I)图①中m的值为100﹣(32+8+10+22)=28， 故答案为：28；
(II)这组数据的平均数为众数为1.8，中位数为
1.0×5+1.2×11+1.5×14+1.8×16+2.0×4
5+11+14+16+4
=1.52(kg)，
1.5+1.52
=1.5；
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4
(III)估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有2500×=200只．
50
21．(10分)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，
̂的中点，求∠ABC和∠ABD的大小； (I)如图①，若D为𝐴𝐵
(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
【分析】(Ⅰ)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小； (Ⅱ)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小． 【解答】解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°， ∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°，
̂的中点，∠AOB=180°∵D为𝐴𝐵，
∴∠AOD=90°， ∴∠ABD=45°； (Ⅱ)连接OD， ∵DP切⊙O于点D， ∴OD⊥DP，即∠ODP=90°， 由DP∥AC，又∠BAC=38°， ∴∠P=∠BAC=38°，
∵∠AOD是△ODP的一个外角， ∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°， ∴∠ACD=64°，
∵OC=OA，∠BAC=38°， ∴∠OCA=∠BAC=38°，
∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°．
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22．(10分)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形， ∴AE=BC=78，AB=CE，
在Rt△ACE中，EC=AE•tan58°≈125(m) 在Rt△AED中，DE=AE•tan48°，
∴CD=EC﹣DE=AE•tan58°﹣AE•tan48°=78×1.6﹣78×1.11≈38(m)， 答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m．
23．(10分)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元． 设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)． (I)根据题意，填写下表：
游泳次数 方式一的总费用
(元)
方式二的总费用
(元)
(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ (Ⅲ)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由． 【分析】(Ⅰ)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；
(Ⅱ)根据题意可以求得当费用为270元时，两种方式下的游泳次数； (Ⅲ)根据题意可以计算出x在什么范围内，哪种付费更合算．
【解答】解：(I)当x=20时，方式一的总费用为：100+20×5=200，方式二的费用为：20×9=180， 当游泳次数为x时，方式一费用为：100+5x，方式二的费用为：9x， 故答案为：200，100+5x，180，9x； (II)方式一，令100+5x=270，解得：x=34， 方式二、令9x=270，解得：x=30； ∵34＞30，
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90
135
180
…
9x
10 150
15 175
20 200
… …
x 100+5x
∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多； (III)令100+5x＜9x，得x＞25， 令100+5x=9x，得x=25， 令100+5x＞9x，得x＜25，
∴当20＜x＜25时，小明选择方式二的付费方式， 当x=25时，小明选择两种付费方式一样，
但x＞25时，小明选择方式一的付费方式．
24．(10分)在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； (Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标．
(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
【分析】(Ⅰ)如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； (Ⅱ)①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；
(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【解答】解：(Ⅰ)如图①中，
∵A(5，0)，B(0，3)， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD=√𝐴𝐷2−𝐴𝐶2=4， ∴BD=BC﹣CD=1， ∴D(1，3)．
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(Ⅱ)①如图②中，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°，
由(Ⅰ)可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO， 又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+(5﹣m)2， ∴m=， ∴BH=， ∴H(，3)．
51755
1717
(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=•DE•DK=×3×(5﹣
2
2
11
√3430−3√34)=， 24
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=×D′E′×KD′=×3×(5+
30−3√3430+3√34综上所述，≤S≤．
44
2
2
11
√3430+3√34)=． 24
25．(10分)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y=x2+mx﹣2m(m是常数)，顶点为P． (Ⅰ)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
(Ⅱ)若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；
(Ⅲ)无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式． 【分析】(Ⅰ)将点A坐标代入解析式求得m的值即可得； (Ⅱ)先求出顶点P的坐标(﹣，﹣
2𝑚
𝑚2+8𝑚
4
)，根据∠AOP=45°知点P在第四象限且PQ=OQ，列出关于m的方程，解之可得；
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(Ⅲ)由y=x2+mx﹣2m=x2+m(x﹣2)知H(2，4)，过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，证△ADE≌△HAG得DE=AG=1、AE=HG=4，据此知点D的坐标为(﹣3，1)或(5，﹣1)，再求出直线DH的解析式，将点P的坐标代入求得m的值即可得出答案． 【解答】解：(Ⅰ)∵抛物线y=x2+mx﹣2m经过点A(1，0)， ∴0=1+m﹣2m， 解得：m=1，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2， ∵y=x2+x﹣2=(x+)2﹣，
21
9412
9
∴顶点P的坐标为(﹣，﹣)；
4
(Ⅱ)抛物线y=x2+mx﹣2m
的顶点P的坐标为(﹣，﹣
2
𝑚
𝑚2+8𝑚
4
)，
由点A(1，0)在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP=45°知点P在第四象限， 如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则∠POQ=∠OPQ=45°， 可知PQ=OQ，即
𝑚2+8𝑚
4
=﹣，
2
𝑚
解得：m1=0，m2=﹣10，
当m=0时，点P不在第四象限，舍去； ∴m=﹣10，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣10x+20；
(Ⅲ)由y=x2+mx﹣2m=x2+m(x﹣2)可知当x=2时，无论m取何值时y都等于4， ∴点H的坐标为(2，4)，
过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G，
则∠DEA=∠AGH=90°， ∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，
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∴∠ADH=45°， ∴AH=AD，
∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°， ∴∠DAE=∠AHG， ∴△ADE≌△HAG， ∴DE=AG=1、AE=HG=4，
则点D的坐标为(﹣3，1)或(5，﹣1)；
①当点D的坐标为(﹣3，1)时，可得直线DH的解析式为y=x+， ∵点P(﹣，﹣∴﹣
2
𝑚2+8𝑚3
4
5𝑚
𝑚2+8𝑚4𝑚2
35
145
35
145
)在直线y=x+上，
=×(﹣)+，
5
145
14
解得：m1=﹣4、m2=﹣，
当m=﹣4时，点P与点H重合，不符合题意， ∴m=﹣；
514
53
223
②当点D的坐标为(5，﹣1)时，可得直线DH的解析式为y=﹣x+， ∵点P(﹣，﹣∴﹣
2𝑚2+8𝑚
4𝑚
𝑚2+8𝑚
4𝑚2
)在直线y=﹣x+上，
22
3
3
3223
522
=﹣×(﹣)+，
3145
223
5
解得：m1=﹣4(舍)，m2=﹣， 综上，m=﹣或m=﹣，
则抛物线的解析式为y=x2﹣x+或y=x2﹣x+．
5533
14
28
22
44
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