三次曲面内插法在DEM数据插值中的应用

第３１卷第１期　四川兵工学报　２０１０年１月　【信息与计算机】　三次曲面内插法在ＤＥＭ数据插值中的应用　席雷平　，陈自力　，郑　祥　（１．军械工程学院，石家庄０５０００３；２．７１５２１部队，河南新乡４５３８００）　摘要：从地形的连续性与光滑性考虑，采用了三次曲面内插方法进行ＤＥＭ数据内插，并对其插值算法进行了深　入分析与探讨，对内插的精度进行了评定，最后对该方法进行了仿真，结果表明该方法在ＤＥＭ数据差值中具有　较好的效果．　关键词：ＤＥＭ；高程数据；三次曲面内插　中图分类号：￥１５７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—０７０７【２０１０）０１—０１１５—０２　数字高程模型（ｄｉｇｉｔａｌ　ｅｌｅｖａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ，ＤＥＭ）最初是　Ｊ　１９５６年为了高速公路的设计而提出的，现已被广泛运用于　各领域．ＤＥＭ在军事上主要用于飞行器及地面车辆导航、　ｊ＋２　导弹制导、军事测绘以及军事地形的建模与仿真等．　利用ＤＥＭ数据采集方法采集到的ＤＥＭ源数据，量少、　ｊ　１　空间分辨率单一，一般不能直接对其进行使用，而需要先　●　ｐ７ｙ　对其进行内插．ＤＥＭ内插是根据参考点的高程求出其他待　ｊ　ｒ　定点的高程，原理上属于数学插值问题，但比数学插值更　复杂．因为ＤＥＭ内插必须充分考虑地形的连续性和光滑　Ｊ一１　ｆ—ｌ　ｆ　ｆ＋ｌ　ｆ＋Ｚ　性，或者说邻近地面高程点之间很大的相关性．因此，不是　图１　Ｐ点与周围格网　所有的插值方法都适用于ＤＥＭ数据内插．本文中从地形　由于待定系数共有１６个，因而除了Ｐ点所在格网的　的连续性和光滑性这一本质出发，考虑采用三次曲面内插　四顶点高程外，还需要已知该点处的一阶偏导数与二阶混　方法对ＤＥＭ数据进行插值．　合导数，其值可按下列公式计算¨］：　１　三次曲面内插方法　（　）　＝　Ｏｘ＝÷（ｚＪ　一　）　（２）　三次曲面方程可用阵列代数方式表达为　（　：鲁：寺　一Ｚｉ，ｊ－ｔ）　（３）　Ｚ＝［１　Ｘ　Ｘ２　Ｘ３］・　（　）　：　（４）　：Ｘ　Ａ　ｙＴ　（１　因为：　。　Ｚ　＝【０　１　２　３ｘ２ＩＡ［１　Ｙ　ｙ２　ｙ３１　（５）　Ｚｙ＝［１　】Ａ［０　１　２ｙ　３ｙ２】　（６）　当数据点呈方格网分布（如图１所示）时，将坐标原点　平移至待定点Ｐ所在的方格网之左下角，则Ｐ点坐标（　，　＝【０　３ｘ。埘【Ｏ　１　２ｙ　３ｙ２］　（７）　ｙ）满足０≤　≤　，０≤ｙ≤Ｌ其中：Ｌ为格网边长．为了分析简　且：　单，令Ｌ＝１，则０≤　≤１，０≤，，≤１．　ｆ—ｌ　Ｙｊ—ｌ＝一１　ｉ　Ｙｊ　０　米收稿日期：２００９一ｌ０—２５　基金项目：军械工程学院科学研究基金项目（２００９０２６）．　作者简介：席雷平（１９７９一），男，河北邯郸人，讲师，博士研究生，主要从事导航、制导与控制研究　ｒ．．．．０　叭　口　陀　０　∞　●ｌ１６　四川兵工学报　０　１　０　０　ｚ　＿ｒ（８）　１：．　ｌ，一１＝ｌ一：　一　一　Ｉ　ｃ９　值（１Ｌ　ｌ。）ｕ　　图３　三次曲面内插高程数据与源高程数据比较　从而可求得　个待定参Ｘ　ＺＹ一１　　Ａ　＝　Ｉ３　仿真结果　为了直观地检查三次曲面内插方法的效果，本文中对　将求得的１６个待定参数值代入式（１），即可求出ＤＥＭ　范围内任意一点Ｐ的高程值．　三次曲面内插虽然属于局部函数内插，即在每１个方　格网内拟合１个三次曲面，但由于考虑了一阶偏导数与　混合导数，因而与其他内插方法相比，该方法能保证相　邻曲面间的连续性与光滑性．　内插结果进行了仿真．图４是由采集得到的问隔为２０　ｍ、　数据生成的三维地形图，图５是由三次曲面内插方　对间隔为２０　ｍ的高程数据进行插值得到的间隔为ｌ０　ｍ的　高程数据所生成的三维地形图　．　２内插精度评定　采用预留检查点的ＤＥＭ精度评定方法对内插ＤＥＭ　数据精度进行了测定，该方法的原理如下・　在ＤＥＭ数据内插时，预留一部分数据点ｎ不参加内　，　．，　捅，作为检查点，其高程为ｚ　（ｔ（－－ｌ，２，…，ｎ）・在建立ＤＥ　之后，由ＤＥＭ内插得到的这些点的高程为ＺＫ则ＤＥＭ的　内插精度为　砉（２　）。　（１１）　取某一地形的航空像片如图２所示，利用ＤＥＭ数据采　；　图４　间隔为２０　ｍ的ＤＥＭ源数据生成的地形　集模块对其进行ＤＥＭ源数据采集．取预留ＤＥＭ数塑粤　ｎ：２Ｂ　０００，则由式（１１）测得三次曲面内插法的　值为　３．４１７　ｍ．图３是内插方法插值得到的高程数据与采集得到　的源高程数据之间的比较图，ｈ为高程值坐标轴，ｎ为高程　数据量坐标轴　．　图５　间隔为１０　ＩＴＩ的ＤＥＭ内插数据生成的地形　比较图４和图５可以发现，三次曲面内插方法在保持　原地形信息不丢失的前提下，不仅保证了地形的连续性和　光滑性，而且提高了地形的分辨率・　（下转第１２３页）　图２　某一地形的航空像片　董　茜：关于独立数问题的一些结果　Ｑ（　．　）≥ｍａｘ（Ｚ，Ｌ　ｍ／２Ｊ），然后设法证明　（　（Ｚ，Ｌｍ／２］），从而得到定理的结论．　１２３　）≤ｍａｘ　Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａ，２００７，８３：２７９—２８７．　［５］Ｐｅｐｐｅｒ　Ｒｙａｎ．Ａｎ　ｕｐｐｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｂｅｎｚｅｎｏｉｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，１５６：６０７—６１９．　１）当ｆ≥Ｌ　ｍ／２　Ｊ时，取Ｓ＝｛　：０≤ｉ≤￡一１｝　（　．　），则Ｓ是　．　的一个独立集且Ｉｓｌ＝ｚ≥Ｌｍ／２１（．　当ｆ＜Ｌｍ／２Ｊ时，取Ｓ＝｛　：　－０≤ｉ≤（ｍ一１）／２—１｝　（　．　），则Ｓ是　于是，有　（　［６］Ｍａｒｔｉｎ　Ｓ　Ｐ，Ｐｏｗｅｌｌ　Ｊ　Ｓ，Ｒａｉｌ　Ｄ　Ｆ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃａｒｔｅｓｉａｎ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　ｃａｔｅｒｐｉｌｌａｒｓ［Ｊ］．Ａｒｓ　Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａ，２００１，６０：７３—８４．　．　的一个独立集且ＩＳｌ＝Ｌｍ／２Ｊ＞Ｚ．　）≥ｍａｘ（Ｚ，Ｌｍ／２Ｊ）．　２）令Ｊｓ为多锥图　的任意一个独立集，取　＝ｌＳｎ　［７］　ｕ　Ｙｕ—ｓｈｅｎｇ，Ｒｏｕｓｓｅａｕ　Ｃ　Ｃ，ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｎ—ａｎ．Ｔｈｅ　ｌｏｗｅｒ　｛ｕ　：０≤　≤ｚ一１｝Ｉ，Ｙ＝Ｉｓｎ｛　；：０≤　≤ｍ一１｝Ｉ，则ｌ　ＪｓＩ＝　＋　ｂｏｕｎｄ　ｏｎ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ：　ｙ且　≤（　Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，２００２，４５：４６—６９．　由（ＷＩ　，　：０≤　≤ｍ一１｝＞　Ｃ　可知Ｙ≤Ｌ　ｍ／２Ｊ．同　［８］　ＬＵ　Ｍｅｉ，ＬＩＵ　Ｈｕｉ—ｑｉｎｇ，ＴＩＡＮ　Ｆｅｎｇ．Ｌａｐｌａｅｉａｎ　ｓｐｅｃｔｒａｌ　时，由｛ｕｉｖｊ：０≤　≤ｆ～１，０≤　≤ｍ一１｝　Ｅ（Ｗ１ｂｏｕｎｄｓ　ｆｏｒ　ｃｌｉｑｕｅ　ａｎｄ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｏｆ　ｇｒａｐｈｓ　）可知ｘｙ＝　０．于是，　＋ｙ≤ｍａｘｌ，Ｌｍ／２Ｊ）．　［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉｌａ　Ｔｈｅｏｒｙ：Ｓｅｒｉｅｓ　Ｂ，２００７，　从而Ｉｓｌ＝　＋ｙ＜－ｍａｘ（ｚ，Ｌｍ／２Ｊ）．又由ｓ任意性，可知　９７：７２６—７３２．　０【（　．　）≤ｍａｘ（Ｚ，Ｌｍ／ａＪ）．　［９］　Ｂｅｒｇｅｒ　Ｅｌｉ，Ｚｉｖ　Ｒａｎ．Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｄｇｅ　ｃｏｖｅｒ　ｎｕｍｂｅｒ　综合１），２），得ｏｔ（　）＝ｍａｘ（￡，Ｌｍ／２Ｊ）．　ａｎｄ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｎ　ｈｙｐｅｒｇｒａｐｈｓ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，３０８：２６４９—２６５４．　参考文献：　［１０］Ｅｇａｗａ　Ｙｏｓｈｉｍｉ，Ｅｎｏｍｏｔｏ　Ｈｉｋｏｅ，Ｊｅｎｄｒｏｌ　Ｄｔａｎｉｓｌａｖ．Ｉｎｄｅ—　ｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ａｎｄ　ｖｅ￣ｅｘ—ｄｉｓｊｏｉｎｔ　ｃｙｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｗｅｓｔ　Ｄ　Ｂ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｇｒａｐｈ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００７，３０７：１４９３—１４９８．　［Ｍ］．Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ　Ｃｌｉｆｆｓ　ＮＪ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ　Ｈａｌｌ，２００１．　［１１］Ａｍｉｎ　Ａ　Ｔ，Ｈａｋｉｍｉ　Ｓ　Ｌ．Ｕｐｐｅｒ　ｂｏｕｎｄｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ａ　［２］　李雨生，Ｒｏｕｓｓｅａｕ　Ｃ　Ｃ，臧文安．独立数的一个下界　ｃｌｉｑｕｅ　ｏｆ　ａ　ｇｒａｐｈ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈ—　［Ｊ］．中国科学：Ａ辑，２００１，３１（１０）：８６５—８７０．　ｅｍａｔｉｅｓ，１９７２，２２：５６９—５７３．　［３］　徐保根．关于正则图的独立数的一点注记［Ｊ］．华东　［１２］Ｋｌａｖｚａｒ　Ｓａｎｄｉ．Ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｂｏｕｎｄｓ　ａｎｄ　ｅｘａｃｔ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｎ　交通大学学报，１９９４，１１（４）：６１—６４．　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　Ｃａｒｔｅｓｉａｎ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｇｒａｐｈｓ　［４］　Ｇｕｏ　Ｓ　Ｇ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｔｒａｌ　ｒａｄｉｕｓ　ｏｆ　ｕｎｉｃｙｃｌｉｃ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　［Ｊ］．Ａｒｓ　Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａ，２００５，７４：１７３—１８６．　ｎ　ｖｅ￣ｉｃｅｓ　ａｎｄ　ｅｄｇｅ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｑ［Ｊ］．Ａｒｓ　（上接第１１６页）　［４］　Ｇｏｌｄｉｅ　ｚ　Ｂ．Ｔｅｒｒａｉｎ　Ｄａｔａｂａｓｅ　Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄ—　ｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　５ｔｈ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｔｒａｉｎｉｎｇ　Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ　Ｃｏｎｆｅｒ—　参考文献：　ｅｎｅｅ　ａｎｄ　Ｅｘｈｉｂｉｔｉｏｎ，１９９４（４）．　［５］　王可东．地形辅助导航匹配误差研究［Ｊ］．宇航学报．　［１］　张祖勋．数字摄影测量学［Ｍ］．武汉：武汉测绘科技　２００８，２９（６）：ｌ８ｌ０—１８１２．　大学出版社，１９９７．　［６］　于家城．基于ＦＦｒ的海底地形二维匹配技术［Ｊ］．系　［２］　李志林．数字高程模型［Ｍ］．武汉：武汉大学出版　统仿真学报．２００８，２０（２１）：５７９５—５７９７．　社．２００３．　［７］　朱继文．基于影像匹配数据获取ＤＥＭ方法探讨［Ｊ］．　［３］　孙兆林．ＭＡＴＬＡＢ　６．ｘ图像处理［Ｍ］．北京：清华大学　黑龙江工程学院学报，２００９，２３（１）：３６—３８．　出版社．２０ｏ２．