城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________

一、选择题

1． 函数f（x﹣）=x2+A．8

B．9

C．11

）

B．y2=2x或y2=8xD．y2=2x或y2=16x

，则f（3）=（ D．10

）

姓名__________ 分数__________

2． 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ A．y2=4x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x　

3． 设x，y满足线性约束条件值为（ A．2

）

C．

D．3

，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a的

B．

4． 若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ A．b≥0

B．b≤0

C．b＞0

）

D．b＜0

5． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC11的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36p，则正方体棱长为（ A．2

）

B．3

C．4

D．5

）

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．6． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（

A．B．C．D．

）

7． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ A．ex+1B．ex﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1　

8． 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，公比q=2，Sk+2﹣Sk=48，则k等于（

）

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A．7B．6

）

C．5D．4

9． 下列命题中正确的是（ B．任何复数都不能比较大小C．若

=

，则z1=z2

D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=

A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

10．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ A．　

11．在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

）

的（

）

B．

C．

D．

）

C．充要条件D．既不充分也非必要条件

12．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ A．（1，2）B．[1，2]

C．[1，2）

33D．（1，2]

二、填空题

13．若(mxy)展开式中xy的系数为160，则m__________．

【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．

14．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为　　　　　　．　

6x216y215．已知双曲线21的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p 3p0成立的x的取值范围是　　．　

17．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足已知A（1，，

，则

2．

16．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞

+的最大值为　　　　　　．18．已知各项都不相等的等差数列an，满足a2n2an3，且a6a1a21，则数列的最大值为_________.

Sn项中n12三、解答题

19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；

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（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．

20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E

、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2

=

+

，求直线AP的斜率的取值范围．

21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．　

22．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

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（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．　

23．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

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24．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

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城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C【解析】解：∵函数故选C．　

2． 【答案】 C

【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|=

=

，=

，∴f（3）=32+2=11．

∴sin∠OAF==，

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，

∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，

∵|MF|=5，|AF|=

∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8

因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：

∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），

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设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，

因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为

=，

由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．

【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．　

3． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．平移直线y=ax﹣z，

由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．

当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．此时a=．故选：B．

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4． 【答案】A

【解析】解：抛物线f（x）=x2+bx+3开口向上，以直线x=﹣为对称轴，

若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，则﹣≤0，解得：b≥0，故选：A．

【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　

5． 【答案】C

6． 【答案】A

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．

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7． 【答案】D

【解析】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．　

8． 【答案】D

【解析】解：由题意，Sk+2﹣Sk=即3×2k=48，2k=16，∴k=4．故选：D．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．　

9． 【答案】C

【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．B．实数是复数，实数能比较大小．C．∵

=

，则z1=z2，正确；

D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．　

10．【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是故选：C．　

11．【答案】A

【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，

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，

=．

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∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=∴sinA=当sinA=∴A=

，，，

，

的充分非必要条件，

或A=

故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=故选：A　

12．【答案】D

【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．　

二、填空题

13．【答案】2【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．14．【答案】　

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有 V=×2×h××2，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

，

　．

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【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．　

15．【答案】4p2p()2，∴p4．【解析】316216．【答案】　（﹣2，0）∪（2，+∞）　．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．　

17．【答案】　　．

【解析】解：设∴

+

=

=

，则=1×

×

=

≤

=

，

的方向任意．

．

，因此最大值为

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故答案为：．

【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．　

18．【答案】【解析】

考

点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．

【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及

a1,an,d,n,Sn五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公

式在解题中起到变量代换作用,而a1,d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以

．

又函数f（x）在x=1处有极值，所以可得

即

，b=﹣1．

，其定义域是（0，+∞），

（2）由（1）可知且

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

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xf′（x）f（x）

（0，1）

﹣↘1 0 极小值

（1，+∞）

+

↗所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b=

=

，

+

=1；

则椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），

代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=yE=k（xE﹣2）=

，可得xE=

，

，

由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=由2

=

+

，yF=

，

，可得P为EF的中点，

，=

，

），

即有P（

则直线AP的斜率为t=当k=0时，t=0；当k≠0时，t=

，

再令s=﹣k，可得t=，

≤

=

，

当s=0时，t=0；当s＞0时，t=当且仅当4s=

时，取得最大值；

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当s＜0时，t=≥﹣，

，

]．

综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．　

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=

，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．

【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36得4x2+9y2=36，化为

；

（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=

，

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∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为．　

23．【答案】

【解析】解：（1）由题意可得

．

【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

，∴n=160；

（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（af），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（，

e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为

=；

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件得到的区域为图中的阴影部分

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为∴该代表中奖的概率为　

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+

，得f′（x）=1﹣

，

=．

=

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣

=0，解得a=e．，

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①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+

，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+

，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

）=﹣1+

＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=所以k的最大值为1．　

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

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