二次函数与相似三角形问题(含答案 完美打印版)

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y．．．

12xx） 4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

OyABxOyABx图1 例1题图

图2

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形并证明你的结论；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

3)E练习1、已知抛物线yaxbxc经过P(3，，25300)．

2，及原点O(0，2253xx） 33（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y．．．

（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形

△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系为什么

yCOPBQAEx练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE55，且tanEDA（1）判断△OCD与△ADE是否相似请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴交于A，B两点（点

23。 4y C B E O D 练习2图 A x 3)和(3，12)． ，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，A在点B的左边）

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为yx2x3） ．．．

（2）若直线l:ykx(k0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(1，，0)B(3，0),C(0，3)

（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．

2y P x C l A A B y o C B x O

x1 练习4图

练习3图

练习4 、如图所示，已知抛物线yx1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB90，点A，C的坐标分别

20)，C(1，0)，tanBAC为A(3，3． 439x 440)，C(1，0)，B(1，3)，y（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(3，（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

y B A

x

O C 练习6、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

练习7、如图，已知抛物线y＝过点C的直线y＝

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB4t＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝_ _，c＝_ _； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

yQHPAOBxC

0)B(1，，0)C(0，2)三点． 练习8、如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

练习9、已知，如图1，过点E0，1作平行于x轴的直线l，抛物线y12x上的两点A、B的横坐标分4别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接

CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CFDF；

（3）点P是抛物线y12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在4点P使得△OPQ与△CDF相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习10、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴

交于点A、B．

（1）求该抛物线的关系式；

（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；

（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

y

3 C E D

F A x O B

（第26题图）

练习11、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.

（1）写出点B的坐标 ； （2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，．．

分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 .

D C O B

练习12、如图，抛物线yaxbx1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

2(1)求抛物线的解析式；

(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习13、已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线．．段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由． y

B A O x

练习14、如图,设抛物线C1:yax15, C2:yax15,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； ② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

22 （1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令EFy，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAP与PBF是否相似若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

2

练习16、如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;

(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．

参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为ya(x2)21 ∵抛物线过原点， ∴0a(02)21 ∴a1. 411抛物线的解析式为y(x2)21,即yx2x

44∥OB, ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD＝

yABO12由0(x2)1得x10,x24, x4∴B(4,0),OB＝4.

∴D点的横坐标为6

DC12图1 将x＝6代入y(x2)1,得y＝－3,

4∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),

当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

y1A∴直线OP的解析式为yx

2BOE112x由xxx,

24A'得x10,x26

.∴P(6,－3)

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

图2 P

练习1、解：（1）由已知可得：

3a3b32535375a，b，c0． 解之得，ab03324c0因而得，抛物线的解析式为：y（2）存在．

设Q点的坐标为(m，n)，则n2253xx． 332253mm， 332533m2mm3BQPB3nm333要使△OCP∽△PBQ,，则有，即 3CPOC333解之得，m123，m22．

当m123时，n2，即为Q点，所以得Q(23，2)

2533m2mm3BQPB3nm333要使△OCP∽△QBP,，则有，即 3OCCP333解之得，m133，m23，当m3时，即为P点， 当m133时，n3，所以得Q(33，3)． 故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．

Q点的坐标为(23，，2)(33，3)．

（3）在Rt△OCP中，因为tanCOPCP3．所以COP30． OC3当Q点的坐标为(23，2)时，BPQCOP30． 所以OPQOCPBQAO90．

△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形． 因此，△OPC，又在Rt△OAQ中，因为tanQOAQA3．所以QOA30． AO3即有POQQOAQPBCOP30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OAPOQAOQ30， 所以△OQA≌△OQP．

练习2 解：（1）△OCD与△ADE相似。 理由如下：

由折叠知，CDEB90°，

∴1290°，1390，23. 又∵CODDAE90°，

∴△OCD∽△ADE。

（2）∵tanEDAAEAD34，∴设AE=3t， 则AD=4t。

由勾股定理得DE=5t。

∴OCABAEEBAEDE3t5t8t。

由（1）△OCD∽△ADE，得

OCADCDDE， ∴8tCD4t5t， ∴CD10t。

在△DCE中，∵CD2DE2CE2，

∴(10t)2(5t)2(55)2，解得t=1。

∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8）， 点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，

∴10kb3，k1b8，解得2，

b8，y C B 3 E 1 2 O D A x 图1

y l N C M B G E P O D A x F 图2

1。 ∴yx8，则点P的坐标为（16，0）

2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。

如图2：准确画出两条直线。

练习3 解：（1）

二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(3，12)，

b2a1，a1，由4a2bc3， 解得b2，

c3.9a3b212.此二次函数的表达式为 yx22x3．

（2）假设存在直线l:ykx(k0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．

22在yx2x3中，令y0，则由x2x30，解得x11，x23

A(1，，0)B(3，0)．

3)． 令x0，得y3．C(0，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．

x l 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(1，0)． 点B的坐标为(3，C D AB4，OBOC3，OBC45. BC323232．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有BB，则只需

A O E B y BDBCBOBA， ①

x1 BOBD或. BCBA成立．

若是①，则有BD

②

BOBCBA33292． 44而OBC45，BEDE．

922222在Rt△BDE中，由勾股定理，得BEDE2BEBD4．

9解得 ． BEDE（负值舍去）

493OEOBBE3．

44点D的坐标为，．

将点D的坐标代入ykx(k0)中，求得k3．

23944满足条件的直线l的函数表达式为y3x．

［或求出直线AC的函数表达式为y3x3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为yx3．联立y3x，yx3求得点D的坐标为，．］

3944若是②，则有BDBOBA3422．

BC32而OBC45，BEDE．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得BEDE2BEBD(22)2．

解得

． BEDE2（负值舍去）

2222OEOBBE321．

点D的坐标为(1，2)．

将点D的坐标代入ykx(k0)中，求得k2．

∴满足条件的直线l的函数表达式为y2x．

存在直线l:y3x或y2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三

，2)． 角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为，或(139443)E(1，0)的直线ykx3(k0)与该二次函数的图象交于点P． （3）设过点C(0，，将点E(1，0)的坐标代入ykx3中，求得k3．

此直线的函数表达式为y3x3．

设点P的坐标为(x，3x3)，并代入yx2x3，得x25x0．

2解得x15，x20（不合题意，舍去）．

x5，y12． 点P的坐标为(5，12)．

此时，锐角PCOACO． 又二次函数的对称轴为x1，

点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2，3)． 当xp5时，锐角PCOACO；

当xp5时，锐角PCOACO； 当2xp5时，锐角PCOACO．

练习四

解：（1）令y0，得x210 解得x1 令x0，得y1

∴ A(1,0) B(1,0) C(0,1)

（2）∵OA=OB=OC=1 ∴BAC=ACO=BCO=45 ∵AP∥CB， ∴PAB=45

过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a1 ∴P(a,a1)

∵点P在抛物线yx21上 ∴a1a21

解得a12，a21（不合题意，舍去） ∴PE=3

∴四边形ACBP的面积S=112ABOC+2ABPE=122112234 (3)． 假设存在

∵PAB=BAC =45 ∴PAAC

x C · C A O E B x1 P y P A o B x C 图1 ∵MGx轴于点G， ∴MGA=PAC =90 在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M点的横坐标为m，则M (m,m1) ①点M在y轴左侧时，则m1 (ⅰ) 当AMG ∽PCA时，有

22AGMG= PACAM y P m1m21∵AG=m1，MG=m1即 3222（舍去） 3AGMG(ⅱ) 当MAG ∽PCA时有=

CAPA解得m11（舍去） m2G A oC 图2 B xm1m1即 解得：m1（舍去） m22 232∴M(2,3)

② 点M在y轴右侧时，则m1 (ⅰ) 当AMG ∽PCA时有

22y P M AGMG= PACA∵AG=m1，MG=m1

4m1m1∴ 解得m11（舍去） m2 332247 ∴M(,)

39(ⅱ) 当MAG∽PCA时有

2A oC 图3 G B xAGMG= CAPAm1m21即 232解得：m11（舍去） m24 ∴M(4,15)

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为(2,3)，(,)，(4,15)

练习5、 解：（1）

点A(3，0)，C(1，0)

473933) AC4，BCtan∠BACAC43，B点坐标为(1，4设过点A，B的直线的函数表达式为ykxb，

0k(3)b3939 得k，b直线AB的函数表达式为yx 444y43kbB （2）如图1，过点B作BDAB，交x轴于点D，

P 在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∠BAC∠DAB Rt△ABC∽Rt△ADB，

4O QCA D点为所求又tan∠ADBtan∠ABC，

3由图1

D x

CDBCtan∠ADB3（3）这样的m存在

1349130 ODOCCD，D，4434在Rt△ABC中，由勾股定理得AB5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD

m则5313m254，解得m

13934y B P 如图2，当PQAD时，△APQ∽△ADB

A Q O C 图2

D x

则

m1334313m1254，解得m 365