高考数学 高次分式不等式解法

⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式(x4)(x1)0. 分析一：利用前节的方法求解；

分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等

x10x10x10式的解集是下面两个不等式组：与的解集的并集，即{x|}

x40x40x40∪{x|x10}=φ∪{x|-4x40x10x10或

x40x40解二：∵(x-1)(x+4)<0x∈φ或-4∴原不等式的解集是{x|-4解三：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号

x+4 x-1 (x-1)(x+4) （-，-4） - - + （-4，1） + - - （1，+） + + + ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-40；

解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下：

x+2 x-1 x-3 各因式积 - - - - -2 1 3 + - - + + + - - + + + + ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-23}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；

②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集.

练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-1可大致画出函数图形求解，称之为根轴法（零点分段法）

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

注意：奇过偶不过

例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；

③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-1说明：∵3是三重根，∴在C处过三次，2是二重根，∴在B处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”. 练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)20； ②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图：

④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.

说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法

x30. x7错解：去分母得x30 ∴原不等式的解集是x|x3.

例4 解不等式：

解法1：化为两个不等式组来解： ∵

x30x30x30或x∈φ或7x37x3， x7x70x70∴原不等式的解集是x|7x3. 解法2：化为二次不等式来解：

(x3)(x7)0x3∵07x3， x7x70∴原不等式的解集是x|7x3

说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是{x| -7小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为

f(x)的形式. g(x)x23x20. 例5 解不等式：2x2x3解法1：化为不等式组来解较繁.

(x23x2)(x22x3)0x23x202解法2：∵2

x2x3x2x30(x1)(x2)(x3)(x1)0， (x3)(x1)0∴原不等式的解集为{x| -1也可以直接用根轴法（零点分段法）求解：练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式

-1123

x32. x5答案：1.⑴{x|-5-1/2}；2.{x|-132解不等式：

三、小结：

1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）.

2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

24xx1.（答：{x|x0或10(或<0)的形式，转化为：g(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)g(x)0(或)，即转化 g(x)0g(x)0为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解 3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论.

5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题：

1． 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.

解：①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)>0，

②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ ③讨论：

ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

-34-ax∴原不等式的解集为{x| -3-a}.

ⅱ当-3<-a<4，即-4x-3-a4∴原不等式的解集为{x| -34}.

ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

x-a-34∴原不等式的解集为{x| -a4}.

ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

x-34-a∴原不等式的解集为{x| x>-3}.

ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

-3-a4x∴原不等式的解集为{x| x>4}.

2x22kxk1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提示：4x2+6x+32．若不等式24x6x3恒正)（答：12x22kxk2x22kxk110 解：∵224x6x34x6x32x22(k3)x3k0

4x26x3 2x22(k3)x3k0(∵4x2+6x+3恒正)，

∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立. ∴=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0k2-4k+3<01小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分