(完整版)轨迹方程的五种求法例题

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：xy1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

22【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有

MNMQ，即

MOONMQ22，

x2y21(x2)2y2．整理得(21)x2(21)y242x(142)0，这就是动点

M的轨迹方程．若1，方程化为x

55，它表示过点(,0)和x轴垂直的一条直线；若44222132132222（x－2）y2,0)为圆心，2λ≠1，方程化为，它表示以(221(1)11为半径的圆．

二、代入法

若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 已知抛物线yx1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

【解析】：设P(x,y),B(x1,y1)，由题设，P分线段AB的比2AP2，∴ PBx32x112y13331,y.解得x1x,y1y.又点B在抛物线y2x1上，121222223133y)2(x)1.整理得点P的轨迹方程为2222其坐标适合抛物线方程，∴ (121(y)2(x),其轨迹为抛物线．

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三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆(x2)y4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是

222（A）y12x120 （B）y12x120

2（C）y8x0 （D）y8x0

【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是y12(x1)．选（B）． 例4 一动圆与两圆xy1和xy8x120都外切，则动圆圆心轨迹为 （A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆

2222222MOr1,【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有MCr2,动点M到两定点的距

MCMO1.离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．

四、参数法

若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程． 例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且

OPOQtt21，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

a2b21,yx【解析】：（1）设所求椭圆方程为221(a＞b＞0).由题意得a解得

abt,b222t2a2.t1所以椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2． b21.t21t2(t21)x12(t21)y12t2,(2)设点P(x,y),Q(x1,y1),解方程组得

y1tx1,1tx,xx122(t1)OPOPx2或tt21和由得2tOQOQxt1yy.,y1222(t1)t2t22,

,其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为x22222y(x)和x2y(x)．其2222轨迹为抛物线x22222y在直线xy在直线右侧的部分和抛物线x222x2在侧的部分． 2五、交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．

例6 已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设A(t,t),B(t1,t1)，则

PA：y2t2t1(x2)(t2),QQB：y2x(t1).消去t，得t2t1x2y22x2y80.当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以

点M的轨迹方程是xy2x2x2y80.

以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关

系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．

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