第27讲 二项式定理-新高考艺术生40天突破数学90分讲义

一．选择题（共24小题）

11．（2020秋•宁波期末）在(2x2)(x)6的展开式中，含x2x的项的系数是( )

A．10 B．10 C．25 D．25

【解析】解：在(2x2)(x1x)6的展开式中，含x2的项的系数是2C26C36302010， 故选：B．

2．（2020秋•安徽期末）(x1x3)5的展开式中的第三项为( ) A．10x7 B．10x3 C．5x

D．5x2

【解析】解：(x1512x3)的展开式中的第三项为T21C25x3(x3)10x3， 故选：B．

3．（2020秋•房山区期末）在(x2)5的展开式中，x4的系数为( ) A．5

B．5

C．10

D．10

【解析】解：在(x2)5的展开式中，x4的系数为C15(2)10， 故选：D．

4．（2020秋•阜阳期末）(x36x1)(11x)6的展开式中的常数项为( )

A．19 B．55 C．21 D．56

【解析】解：(x36x1)(1131x)6的展开式中的常数项为C6(1)36CC06(1)62036155，故选：B．

5．（2020秋•杭州期末）已知(x21)(2x1)7a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9(xR)，则a1( A．30

B．30

C．40

D．40

【解析】解：(x21)(2x1)7a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9(xR)， 令f(x)(x21)(2x1)7a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9(xR)， 则f(x)2xa1a2(x1)1a9(x1)8，

f(x)2x(2x1)7(x21)14(2x1)6，

) 6a1f（1）21214(21)30

故选：B．

16．（2020秋•顺义区期末）在(x)6的展开式中，常数项为( )

xA．15 B．30 C．20 D．40

33r16r6r1rr【解析】解：(x)的展开式的通项为Tr1C6(x)()C6x2，

xx3令3r0，得r2，

2所以常数项为C6215． 故选：A．

7．（2020秋•怀仁市期末）(2x[3]x)6的展开式中，x4的系数是( ) A．20

B．20

6C．160

r6rD．160

6r【解析】解：(2x[3]x)的展开式中的通项公式为Tr1C(1)2令62r3344，求得r3，可得x的系数为C62160， 3x62r3，

故选：D．

8．（2020秋•上饶期末）(1x2)(2x)4的展开式中x4项的系数为( ) A．30

B．35

C．20

D．25

42x4x2C422x225x2， 【解析】解：展开式中含x4项为：1C4故选：D．

219．（2020秋•海淀区校级期末）(x3)4(x)8的展开式中的常数项为( )

xxA．32 B．34 C．36 D．38

22rr124r【解析】解：(x3)4的展开式的通项公式为Tr1C4， (x3)4r()r(2)rC4xxx2332， 令124r0，可得r3，所以(x3)4的展开式的常数项为(2)3C4x11(x)8的展开式的通项公式为T1C8x8()C8x82，

xx1令820，可得4，所以(x)8的展开式的常数项为C8470，

x21所以(x3)4(x)8的展开式中的常数项为327038．

xx故选：D．

10．（2020秋•黄冈期末）已知二项式(2x1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )

A．80

B．80

C．160

D．120

【解析】解：二项式(2x1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，n6，

则展开式中x3项的系数为C3623(1)3160， 故选：C．

11．（2020秋•西城区期末）在(ab)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n( A．4

B．5

C．6

D．7

【解析】解：在(ab)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，

n6，

故选：C．

12．（2021•全国模拟）(1x)2(1x)3(1x)9的展开式中x2的系数是( ) A．60 B．80 C．84

D．120 【

解

析

】

解

：

(1x)2(1x)3(1x)9的

展

开

式

中

x2的系C2C23323C29C3C223C9C10120．

故选：D．

13．（2020秋•大连期末）(2xy)5的展开式中x2y3的系数为( ) A．80

B．80

C．40

D．40

【解析】解：(2xy)5的展开式的通项公式为Trr1C5(2x)5r(y)r， 令r3，可得展开式中x2y3的系数为C252240， 故选：D．

14．（2020秋•工农区校级期末）(12x)5的二项式系数和是( ) A．35

B．1

C．25

D．1

) 数为

【解析】解：(12x)5的二项式系数和为25． 故选：C．

215．（2020秋•沈阳期末）(2x2n)(x)3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含x3项的系数为(

x)

A．2

B．8

C．5

D．17

2【解析】解：(2x2n)(x)3的展开式的各项系数之和为(2n)(1)3，n5．

x2则(x)3的展开式的通项公式为Tr1C3r(2)rx32r，

x令32r1，求得r1；令32r3，求得r0，

21(2)5C3017， 故(2x2n)(x)3的展开式中含x3项的系数，2C3x故选：D．

x16．（2020秋•香坊区校级期末）在(y)(xy)6的展开式中，x3y4的系数是( )

2A．20 B．

15 2C．5 D．25 2x141253【解析】解：在(y)(xy)6的展开式中，x3y4的系数为C6C61520，

2222故选：D．

17．（2021•二模拟）已知二项式(1xx)n展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为(

)

A．84

B．42

3nC．42 D．84

9n2【解析】解：由题意可知T4C(9n0，解得n9， 21x)n3(x)(1)Cx333n，

令

384． 所以该二项式的展开式中的常数项为(1)3C9故选：A．

18．（2021•十三模拟）在二项式(x2y)6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则

AB( ) CA．16 91B．

16 91C．91 16D．

91 16【解析】解：在二项式(x2y)6的展开式中，二项式系数和A2664， 令xy1，得各项系数和B(1)61，

f(1)f(1)136令f(x)(x2)，得x的奇次幂项的系数和C364，

226所以

AB6416． C36491故选：A．

219．（2021•浙江模拟）已知(ax2)n展开式中的二项式系数和为32，所有项系数和为1，则(xa)(x)nx展开式中x的系数为( ) A．80

B．40

C．80

D．40

【解析】解：已知(ax2)n展开式中的二项式系数和为2n32，n5． 所有项系数和为1，(a2)51，a1， 22则(xa)(x)n(x1)(x)5，

xx2rr52r， (x)5的展开式的通项公式为Tr1C5(2)xx2故(x1)(x)5的展开式中x的系数为1C52440x，

故选：B．

20．（2021•山东模拟）在(xA．64 【解析】（解:x故选：A．

121．（2021•浙江模拟）(x24x)5的展开式中x2项的系数为( )

x2x)6的展开式中二项式的系数和为( )

B．729 2xC．32 D．81

)6(nN*)的展开式中二项式的系数和为2664，

A．840 B．600 C．480 D．360

111r【解析】解：(x24x)5[x2(4x)]5，它的通项公式为Tr1C5x102r(4x)r，

xxx1对于(4x)r，它的通项公式为Cr(4)rxr2，其中，r

x为非负整数，且r5．

令x的幂指数102rr22，即10r22，可得2，r4，

2(4)42480， 故展开式中x2项的系数为C54C4故选：C．

22．（2020秋•新余期末）已知(x3y)(axy)4展开式中含x2y3项的系数为14，则正实数a的值为( )

9 77 9A．

B．C．2

r4D．1

【解析】解：因为(axy)4展开式的通项公式为：Tr(ax)4r(y)r(1)ra4r4rx4ryr；

24(x3y)(axy)4展开式中含x2y3项的系数为：3(1)2a27； a1 (a舍）9(1)3a4114；

故选：D．

23．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知(ax11)5展开式中的系数和为32，则该展开式中的常数项为( x)

A．40

B．81

C．80

D．121

【解析】解：令x1，则a532，解得a2． (2x11)5的展开式的通项公式为：x1Tr1C5r(2x)r，

x1(2x)r的展开式的通项公式为：

x1T1Cr(2x)r()(1)2rCrxr2，

x令r20，

r0；r2，1；r4，2．

该展开式中的常数项

121C522C2C5422C481．

故选：B．

24．多项式(x22x3)5展开式中含x项的系数为( ) A．240

B．810

C．480

D．600

【解析】解：将(x22x3)5化为(x1)5(x3)5

含x的项是由(x1)5展开式中的常数项、x项与(x3)5展开式中的x项、常数项分别对应相乘得到．

(x1)5展开式的通项为C5rx5r，常数项、_x的项的系数分别为1，C545， (x3)5展开式的通项为C5kx5k(3)k，x项、常数项分别为C54(3)4405，243

所以(x22x3)5展开式中含x项的系数是4052435810 故选：B．

二．填空题（共9小题）

(x41)425．（2020秋•池州期末）展开式中常数项为 4 ．（用数字作答）

x12r4(4r)r164x(1)r(1)rC4x【解析】解：(x41)4中的通项公式为Tr1C4，

令164r12得r1，

1(1)4． 所以常数项为T2C4故答案为：4．

26．（2020秋•嘉兴期末）已知(1mx)(1x)5a0a1xa2x2a6x6．若a25，则m 1 ；a1a3a5 ．

【解析】解：因为(1mx)(1x)5a0a1xa2x2a6x6，

1105m5， 所以a2C52mC5解得m1．

当x1时，(11)(11)5a0a1a2a60， 当x1时，(11)(11)5a0a1a2a60， 两式相减可得2(a1a3a5)0，则a1a3a50． 故答案为：1；0．

27．（2020秋•湖州期末）设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a3 a1a2a5 ．

3(2)380， 【解析】解：由二项式定理可得a3C580 ，

令x0，可得a01，

令x1，可得a0a1a2a5(1)51， 所以a1a2a5112． 故答案为：80；2．

28．（2020秋•台州期末）已知(m2x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，若a032，则实数m 2 ，a3 ．

【解析】解：(m2x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，

0m5，则实数m2． 若a032C53a3C5m2(2)3804320，

故答案为：2，320．

229．（2020秋•天津期末）在(x)5的展开式中，x的系数是 10 ．（用数字作答）

x22【解析】解：在(x)5的展开式中，含有x的项为：C54(x)410x，

xxx的系数为10，

故答案为：10．

230．（2020秋•辽阳期末）(3x2)6的展开式中各项系数之和为 1 ，常数项为 ．

x2【解析】解：令x1，可得二项式(3x2)6的展开式中各项系数之和为1．

x根据通项公式Tr1r636r(2)rx123r，

46令123r0，求得r4，故常数项为：故答案为：1；2160．

32(2)42160，

31．（2021•山东模拟）(12x)n的展开式中二项式系数中，第三项和第四项相等，并且最大，则(x中x3的系数为 45 ．

【解析】解：(12x)n的展开式中二项式系数中，第三项和第四项相等，并且最大， n为奇数，展开式共有6项，故n5．

12)nx则(x112n110r(1)rx5r， 2)n(x)(x)的通项公式为Tr1C10xxx245， 令5r3，求得r2，可得x3的系数为C10故答案为：45．

32．（2021•浙江模拟）若(x3)6a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5a6(x1)6，则a0 64 ，a5 ．

【解析】解：(x3)6[2(x1)]6a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5a6(x1)6，

6令x1，可得a0264．

5a5C6212，

故答案为：64；12．

33．（2020秋•新余期末）若(3x7)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为 16 ． 【解析】解：在等式(3x7)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1，可得a0a1a2a3a4(37)4①，

再令x1，可得a0a1a2a3a4(37)4②， ①②可得(aoa2a4)2(a1a3)2(2)416， 故答案为：16．

三．解答题（共1小题）

34．（2020秋•京口区校级期末）（1）已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7． 求：①a1a2a7； ②|a0||a1||a2||a7|． （2）在(x25)的展开式中， x2求：①展示式中的第3项： ②展开式中二项式系数最大的项．

【解析】解：（1）令x0，则a01，

令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71． ①a1a2a3a72．

②(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，而a1、a3、a5、a7都小于零，

|a0||a1||a2||a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，

令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737．|a0||a1||a2||a7|2187． 2（2）(x2)5的展开式中第r1项为Tr1C5r(x2)5r(2x2)rC5r2rxx155r2，

①当r2时，所以展示式中的第3项为T3C2xr52525240x．

5245415252②r2或3时，二项式系数C最大，r2时，由（1）知T340x，r3时，T4C2x

80x152．