广东省深圳市六校2022届高三第一次联考数学试卷

数学学科 试题

（满分：150分 考试时间：120分钟）

一、单选题（共8题，每一题5分，共40分。）

1.已知集合Ax|x23x0,Bx|lgx0,则AB()A.{x|0x1}B.{x|x0}C.{x|1x3}D.{x|0x3} i2.复数在复平面内对应点的坐标为（）2i12121212A.(,)B.(-,)C.(-,)D.(,-)33553355

3.若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是（）A.xR,f(x)f(x)0B.xR,f(x)f(x)0C.xR,f(x)f(x)D.xR,f(x)f(x) 4.抛物线y4x2的焦点坐标是（）11A（.1，0）B（.0，1）C（.，0）D（.0，）16165.已知数列{an}的通项公式an3n(2n13),则数列前n项和Sn取最小值时， n的值是（）A.6B.7C.8D.56.已知两条不同的直线l,m和两个不同的平面，，则：（1）若m//,,则m（;2）空间中，三点确定一个平面；（3）若l,m,l//,m//,则//（;4）若m,l//且l//,则l//m.以上假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4

7.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水 面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近B.13.7米C.13.2米D.13.6米A.13.1米8.已知x1是lnxx5的根，x2是ln(4x)x1的根，则()A.x1x24B.x1x2(5,6)C.x1x2(4,5)D.x1x25

二、多选题（共4题，每题5分。不选、错选得0分；少选得2分；全对得5分，共20分。）

9.设a,bR且ab0,则下列不等式正确的是（）A.ab2ab22B.ab2ab112C.abab baD.2ab10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（1，3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒。经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足yf(t)Rsin(wt)(t0,w0,||下列结论正确的是（）2)，则

3C.当t[3,5]时，函数最小值为2.A.B.当t[0,2]时，函数yf(t)单调递增.D.当t9时，|PA|411.在ABC中，下列说法正确的是（）A.若AB,则|cosB||cosA|B.若a2b2c2,则ABC为锐角三角形. C.等式abcosCccosB恒成立.D.若A:B:C1：1：4，则a:b:c1:1:312.已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m0）且斜率之差等于n，则正确的是（）A.当m0时，点C的轨迹是双曲线.B.当m1时，点C在圆x2y225上运动.C.当m1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大.D.无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形.三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.一部纪录片在4个不同的场地轮映，每个场地放映一次，则有______种轮14. 映次序.某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是_________.

15.已知向量a,b满足|a|6，b（2，2），且|ab|0(0),则|值为________.|的16.已知三棱锥PABC的顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，若SABCSOBC2S4，则SPABSPBCSPAC的最大值PBC,且三棱锥PABC的外接球半径为

为________.四、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分。）

17.在数列an中，已知a11,a22,an12anan1(n2).(1)求an的通项公式；（2）设bn1,求bn的前n项和Tn.a2na2n22,AD平分BAC3

18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,BAC交BC于D，AD1.（1）求ABC面积S的最小值；（2）已知a25,求ABC面积S.

19.在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PAB与平面PCD的交线记为m,已知PABCD体积为16且PE（1）证明：CD//m;(2)求三棱锥AEFG的体积.

312PB,PFPA,PGPC.423

20.甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知21每场比赛甲赢的概率为，输的概率为.. 33(1)求甲最终获胜的概率；（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.

21.已知抛物线C:y24x,点F是C的焦点,O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A,B两点.

(1)求向量OA与OB的数量积；

(2)设FBAF,若9，16，求l在y轴上截距的取值范围.

lnx.x1(1)求f(x)的单调区间；22.设函数fxlnxk（2）如果当x0,且x1时，f(x),求k的取值范围.x1x

答案

一、单选题（每小题5分，共40分） 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 A

二、多选题 题号 答案

三、填空题

13.24 14. 0.034 15.

9 AD 10 BD 11 ACD 12 BD 1 16. 32 316解：如图，连AO，并延长交BC于D，顶点P在底面的射影O为ABC的垂心，ADBC，又PO平面ABC，POBC， ADPOO，BC面ADP，可得BCPA，BCPD．

同理ACPB，ABPC．

由SABCSOBCS2PBC，可得ADODPD2，

且PDOPDA，POD∽APD，APDPOD90，

PAPD，又PABC，BCPDD，

ACA，

AP面PBC，得PAPB，又PBAC，且APPB面APC，即可得PBPC，故PA，PB，PC两两互相垂直.

三棱锥PABC的外接球为以PA，PB，PC为棱的长方体的外接球，

又三棱锥PABC的外接球半径为4，

PA2PB2PC26411SPABSPBCSPAC（PAPBPCPBPAPC）（PA2PB2PC2）32

228SPABSPBCSPAC的最大值为32，当且仅当PAPBPC3时，等号成立．

3

an1an12an.an是等差数列.---------1分 17.解：(1)an12anan1n2，a11,a22,a2a11,an是以1为首项，1为公差的等差数列.------3分an的

通项公式为ann,nN.------------------------------------------------------5分

(2)bn11,bna2na2n24nn1111.4nn1--------------------------------7分

Tnb1b2bn--9分 111111111n1.41223nn14n14n4bn的前n项和

Tnn.4n4----------------------------------------------------10分

11118.解析：（1）SSBADSCAD,bcsinBACcADsinBADbADsinCAD,22233cb,2分bc44bcbc2bc.bc4.4分S

22(2)由余弦定理a2b2c22bccosA得：20bcbcbcbc,------8分

23bc3,当且仅当bc2时等号成立.ABC面积S的最小值为3.6分4由(1)可知bcbc，

bcbc200,bc5bc40,bc0,bc54.10分21353SbcsinBACbc.244ABC的面积S为

19.解析:(1)四边形ABCD是平行四边形，AB//CD.-----------------------------1分

53.----------------------------------------------------------------12分 4AB平面PAB,CD平面PAB.CD//平面PAB.--------------------------------3

CD平面PCD，平面PAB平面PCDm.分分

CD//m.----------------6

（2）.PE31PB,PFPA.42133SAEFSABPSABP2483VAEFGVGEFAVGABP8分8

22PGPCVGABPVCABP10分3311即VAEFGVCABPVPABCD212分4820.解析：(1)设甲最终获胜的概率为P.

216甲四局比赛获得胜利的概率为；----------------------------------------1分

81364321甲五局比赛获得胜利的概率为C4；---------------------------------2分 332432甲六局比赛获得胜利的概率为C33532甲七局比赛获得胜利的概率为C634441160；--------------------------------3分 72933201.---------------------------------4分 3218732416641603204325764803201808. 812437292187218721871808甲最终获胜的概率为.--------------------------------------------------------------6分

2187P(2)X的可能取值为4，5，6，7.------------------------------------------------------------7分

82117321312PX4;PX5C4C4;

338133332732PX6C5344444200131232;PX7C6C5333729324241601312.C6333729343

-------------------------------------------------------------------------------------------------9分 随机变量X的分布列为 X P 4 5 6 7 17 818 27200 729160 729-------------------------------------------------------------------------------------------------10分

EX417820016040124012.--------12分 567.X的数学期望为

729812772972972921.解析：(1)设A,B坐标为x1,y1,x2,y2，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线l方程为：

xmy1.-------------------------------------------------------------------------------1分

联立xmy122y4my40得，16m160，-------------------- 2分 2y4x由韦达定理得y1y24m.--------------------------------------------------------------4分

yy4122y12y216OAOBx1x2y1y2y1y243.

1616向量OA与OB的数量积为3.-----------------------------------------------------------6分

y1y24m(2)由(1)知，FBAFy2y1---------------------------7分

yy412代入y1y24m得

y1y2421y14m12y1216m2122112.-..4m24m2.2y41y14----------------------------------------------------------9分

f

116为增函数-----------------------------------------------10分 2在9，642251622515441524m2,,m,,m,,.--------------11分 9169648338l在y轴上截距

88313，.-------------------------12分 的取值范围为，m415154x11lnx1lnx'x.------------------------------------1分 22.解析：(1)fxx22x1x1令hx11111xlnx.h'x22.----------------------------------------2分 xxxx'x0,hx在0,1单调递增. h当x0,1时，

当x1,时，hx0,hx在1,单调递减.------------------------------3分

'当x0,时，hxh10.当x0，11,时，f'x0.---------5分

1,，fx单调递减区间为0，1，没有单调递增区间.-----------------------------6分

(2)当x0,且x1时，lnxklnxlnxk0, fx,x1x1xx1x1x21122lnxk0.gx2lnxx令k.-------------------------7分 xx1x11当x0，1时，20,当x1，时，20.

x1x1当x0，1时，gx0,当x1，时，gx0.解法一：g(1)0g10.又gx''-------------------------------8分

2112k,g'122k0,k1. xx---------------------------------------------------------------------------------------------9分

x10.2121x22x1'当k1时，gx12k12xxxxx2x2

2--------------------------------------------------------------------------------------------10分

gx在0,单调递减，满足条件当x0，1时，gx0,当x1，时，gx0.21kx22xk解法二:gx12k,

xxx2'k1.---------12分

当k0时,当x1,时g'x0.gx在1,单调递增.当x1,时，gxg10与条件不符，舍去.-----------------------------------------------9分

kx22xkk1x2x1k1k1x21x1当k1时gx0222xxx22'单调递减. .gx在0，

g(1)0满足条件当x0，1时，gx0,当x1，时，gx0.

----------------------------------------------------------10分

当1k0时，令mxkx2xk，44k20.

2244k2244k2,由于当x1,当mx0时，x2k2k244k2gx0,gx在1,2k'时，mx0，单调递增， 244k2当x1,2k时，gxg10与条件不符，舍去.---------------11分 综上所述，k1.-----------------------------------------------12分