指导教师(签名) 年 月 日
说明:指导教师评分后,实验报告交院(系)办公室保存。
实验一 方程求根
一、 实验目的
用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间[a,b]上,或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。 二、 实验原理 (1)、二分法
对方程f(x)0在[a,b]内求根。将所给区间二分,在分点是否f(x)0;若是,则有根
xxba2判断
ba2。否则,继续判断是否f(a)•f(x)0,若
是,则令bx,否则令ax。否则令ax。重复此过程直至求出方程f(x)0在[a,b]中的近似根为止。 (2)、迭代法
将方程f(x)0等价变换为x=ψ(x)形式,并建立相应的迭代公式xk1ψ(x)。 (3)、牛顿法
若已知方程 的一个近似根x0,则函数在点x0附近可用一阶泰勒多项式
p1(x)f(x0)f'(x0)(xx0)来近似,因此方程f(x)0可近似表示为
f(x0)f(x0)f'(x0)(xx)0设f'(x0)0,则xx0f'(x0)。取x作为原方程新的近似
根x1,然后将x1 作为x0代入上式。迭代公式为:xk1三、 实验设备:MATLAB 7.0软件 四、 结果预测
f(xk)x0f'(xk)。
(1)x11=0.09033 (2)x5=0.09052 (3)x2=0,09052 五、 实验内容
x(1)、在区间[0,1]上用二分法求方程e10x20的近似根,要求误差不超
过
0.5103。
f(xk)x0f'(xk)x,求方程e10x20的近
(2)、取初值x00,用迭代公式xk1似根。要求误差不超过
0.5103。
x(3)、取初值x00,用牛顿迭代法求方程e10x20的近似根。要求误差
不超过
0.5103。
六、 实验步骤与实验程序 (1) 二分法
第一步:在MATLAB 7.0软件,建立一个实现二分法的MATLAB函数文件agui_bisect.m如下:
function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname为函数名,a,b为区间端点,e为精度 fa=feval(fname,a); %把a端点代入函数,求fa fb=feval(fname,b); %把b端点代入函数,求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号');
end
%如果fa*fb>0,则输出两端函数值为同号 k=0 x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制
fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数,求fx
if fa*fx<0%如果fa与fx同号,则把x赋给b,把fx赋给fb b=x; fb=fx; else
%如果fa与fx异号,则把x赋给a,把fx赋给fa a=x; fa=fx; end
k=k+1 %计算二分了多少次
x=(a+b)/2 %当满足了一定精度后,跳出循环,每次二分,都得新的区间断点a和b,则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10^-3)
第三步:得到计算结果,且计算结果为 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 迭代法
第一步:第一步:在MATLAB 7.0软件,建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件agui_main.m如下: function x=agui_main(fname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数, x0为迭代初值 %e为精度,N为最大迭代次数(默认为100) N=100;
x=x0; %把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0
x x0=x+2*e; k=0;
while abs(x0-x)>e&k x=(2-exp(x0))/10 %迭代公式 disp(x)%显示x end if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数 第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> x=agui_main(fun,0,1,0.5*10^-3) 第三步:得出计算结果,且计算结果为 k 1 2 3 4 5 以下是结果的屏幕截图 x (3) 牛顿迭代法 第一步:第一步:在MATLAB 7.0软件,建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB函数文件=agui_newton.m如下: function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e) %fname为函数名dfname的函数fname的导数, x0为迭代初值 %e为精度,N为最大迭代次数(默认为100) N=100; x=x0; %把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0 x0=x+2*e; k=0; while abs(x0-x)>e&k x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式 disp(x)%显示x end if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数 第二步:在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >> dfun=inline('exp(x)+10') >> x=agui_newton(fun,dfun,0,0.5*10^-3) 第三步:得出结果,且结果为 k 1 2 3 以下是结果的屏幕截图 七、 实验结果 (1)x11=0.09033 (2)x5=0.09052 (3)x2=0,09052 八、 实验分析与结论 由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果,我们可以得出这样的结论:二分法要循环k=11次,迭代法要迭代k=5次,牛顿法 x要迭代k=2次才能达到精度为0.5103的要求,而且方程e10x20的精确 x 解经计算,为0.0905250, 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。由此可知,牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。而这三种方法中,牛顿法不仅计算量少,而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。可是迭代法是局部收敛的,其收敛性与初值x0有关。二分法收敛虽然是速度最慢,但也有自己的优势,可常用于求精度不高的近似根。迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目,可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容