MATLAB数学实验100例题解

一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.

初等函数的图形

2 作出函数ytanx和ycotx的图形观察其周期性和变化趋势. 解：程序代码：

>> x=linspace(0,2*pi,600); t=sin(x)./(cos(x)+eps);

plot(x,t);title('tan(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：

程序代码：

>> x=linspace(0,2*pi,100); ct=cos(x)./(sin(x)+eps);

plot(x,ct);title('cot(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]); 图象：

14在区间[1,1]画出函数ysin的图形.

x解：程序代码：

>> x=linspace(-1,1,10000);

y=sin(1./x); plot(x,y);

axis([-1,1,-2,2]) 图象：

二维参数方程作图

x(t)costcos5t6画出参数方程的图形：

y(t)sintcos3t解：程序代码：

>> t=linspace(0,2*pi,100);

plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t)); 图象：

极坐标方程作图 8 作出极坐标方程为re的对数螺线的图形. 解：程序代码：

>> t=0::2*pi; r=exp(t/10);

polar(log(t+eps),log(r+eps));

t/10图象：

分段函数作图

10 作出符号函数ysgnx的图形. 解：

程序代码：

>> x=linspace(-100,100,10000); y=sign(x); plot(x,y);

axis([-100 100 -2 2]);

函数性质的研究

12研究函数f(x)x53exlog3(3x)在区间[2,2]上图形的特征.

解：程序代码：

>> x=linspace(-2,2,10000);

y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3); plot(x,y); 图象：

实验2 极限与连续（基础实验）

实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Matlab画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.

作散点图

14分别画出坐标为(i,i2),(i2,4i2i3),(i1,2,,10)的散点图, 并画出折线图. 解：散点图程序代码： >> i=1:10;

plot(i,i.^2,'.')

或：>> x=1:10;

y=x.^2; for i=1:10;

plot(x(i),y(i),'r') hold on end

折线图程序代码： >> i=1:10;

plot(i,i.^2,'-x')

程序代码： >> i=1:10;

plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')

>> i=1:10;

plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')

数列极限的概念

16通过动画观察当n时数列an1n2的变化趋势.

解：程序代码： >> n=1:100; an=(n.^2); n=1:100;

an=1./(n.^2); n=1:100;

an=1./(n.^2); for i=1:100

plot(n(1:i),an(1:i)),axis([0,100,0,1]) pause end 图象：

函数的极限

x39x18在区间[4,4]上作出函数f(x)3的图形, 并研究

xxlimf(x) 和 limf(x).

xx1x39xf(x)3xx在区间[4,4]上的图形 解：作出函数

>> x=-4::4;

y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps); plot(x,y)

从图上看，两个重要极限 20计算极限

f(x)在x→1与x→∞时极限为0

x211(1)limxsinsinx (2)limx

xex0xxtanxsinx(3)lim (4)limxx 3x0x0xlncotx(5)lim (6)limx2lnx x0lnxx03x32x25sinxxcosx(7)lim (8)lim

x5x32x1x0x2sinx(9)limee2xsinx (10)limx0x0xxsinxxx11cosx

解：（1）>> limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x)) ans =1

(2) >> limit(x^2/exp(x),inf) ans = 0

(3) >> limit((tan(x)-sin(8))/x^3) ans =NaN

(4) >> limit(x^x,x,0,'right') ans =1

(5) >> limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right') ans =-1

(6) >> limit(x^2*log(x),x,0,'right') ans =0

(7) >> limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0) ans =1/3

(8) >> limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf) ans =3/5

(9) >> limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x))) ans =2

(10) >> limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x)))) ans =exp(-1/3)

实验3 导数（基础实验）

实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Matlab求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法. 导数概念与导数的几何意义

22作函数f(x)2x33x212x7的图形和在x1处的切线. 解：作函数f(x)2x33x212x7的图形

程序代码： >> syms x;

>> y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> diff(y) ans =

6*x^2+6*x-12 >> syms x;

y=2*x^3+3*x^2-12*x+7; >> f=diff(y) f =

6*x^2+6*x-12 >> x=-1;

f1=6*x^2+6*x-12 f1 = -12

>> f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7 f2 = 20

>> x=linspace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;

y2=-12*(x+1)+20;

plot(x,y1,'r',x,y2,'g')

求函数的导数与微分

124求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数. 并求f.

ab解：求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数

程序代码：

>> syms a b x y;

y= sin(a*x)*cos(b*x); D1=diff(y,x,1) 答案：D1 =

cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b

1求f.

ab程序代码： >> x=1/(a+b);

>> cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b 答案：ans =

cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 拉格朗日中值定理

26对函数f(x)x(x1)(x2),观察罗尔定理的几何意义. (1) 画出yf(x)与f(x)的图形, 并求出x1与x2. 解：程序代码：

>> syms x;

f=x*(x-1)*(x-2); f1=diff(f) f1 =

(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =

1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)

>> x=linspace(-10,10,1000); y1=x.*(x-1).*(x-2);

y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); plot(x,y1,x,y2)

(2)画出yf(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线.

程序代码：>> syms x; >> f=x*(x-1)*(x-2); >> f1=diff(f) f1 =

(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1) >> solve(f1) ans =

1+1/3*3^(1/2) 1-1/3*3^(1/2)

>> x=linspace(-3,3,1000); >> y1=x.*(x-1).*(x-2);

>> y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1); >> plot(x,y1,x,y2) >> hold on

>> x=1+1/3*3^(1/2); >> yx1=x*(x-1)*(x-2) yx1 =

>> x=1-1/3*3^(1/2); >> yx2=x*(x-1)*(x-2) yx2 =

x=linspace(-3,3,1000); yx1 =*x.^0; yx2 =*x.^0;

plot(x,yx1,x,yx2)

28求下列函数的导数:

(1) yex1; 解：程序代码：

>> syms x y; y=exp((x+1)^3); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)

x(2) yln[tan()];

24解：程序代码：

>> syms x;

y=log(tan(x/2+pi/4)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)

1(3) ycot2xlnsinx;

2解：程序代码：

>> syms x;

y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x)); D1=diff(y,1) 答案：D1 =

cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x) (4) y312解：程序代码：

arctan2. x>> syms x;

>> y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x); >> D1=diff(y,1) 答案：D1 =

-2/x^2/(1+2/x^2)

一元函数积分学与空间图形的画法

实验4 一元函数积分学(基础实验)

实验目的 掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用

定积分解决各种问题的能力.

不定积分计算

30求x2(1x3)5dx.

解：程序代码：

>> syms x y;

>> y=x^2*(1-x^3)^5; >> R=int(y,x) 答案：R =

-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3

32求x2arctanxdx.

解：程序代码：

>> syms x y;

>> y=x^2*atan(x); >> R=int(y,x) 答案：R =

1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)

定积分计算

34 求

10(xx2)dx.

解：程序代码：

>> syms x y; >> y=x-x^2;

>> R=int(y,x,0,1) 答案： R =

1/6

变上限积分 36 画出变上限函数解：程序代码：

>> syms x y t; >> y=t*sin(t^2); >> R=int(y,x,0,x) 答案：R =

t*sin(t^2)*x

x0tsint2dt及其导函数的图形.

再求导函数 程序代码：

>> DR=diff(R,x,1) 答案：DR =

t*sin(t^2)

实验5 空间图形的画法(基础实验)

实验目的 掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.

一般二元函数作图

438作出函数z的图形. 21xy2解：程序代码：

>> x=linspace(-5,5,500); [x,y]=meshgrid(x); z=4./(1+x.^2+y.^2); mesh(x,y,z);

xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')

40作出函数zcos(4x29y2)的图形. 解：程序代码：

>> x=-10::10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2); mesh(x,y,z);

xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');title('function')

讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题尤为明显，如右图为坐标轴[-1，1]

二次曲面 x2y2z21的图形.(曲面的参数方程为 42作出单叶双曲面149xsecusinv,y2secucosv,z3tanu, (/2u/2,0v2.))

解：程序代码：

>> v=0:pi/100:2*pi; >> u=-pi/2:pi/100:pi/2; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=sec(U).*sin(V); >> y=2*sec(U).*cos(V); >> z=3*tan(U); >> surf(x,y,z)

44 可以证明: 函数zxy的图形是双曲抛物面. 在区域2x2,2y2上作出它的图形.

解：程序代码：

>> x=-2::2;[x,y]=meshgrid(x); >> z=x.*y;

>> mesh(x,y,z);

46 画出参数曲面

xcosusinvysinusinvzcosvln(tanv/2u/5)解：程序代码：

u[0,4],v[0.001,2] 的图形.

>> v=::2;

>> u=0:pi/100:4*pi;

>> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=cos(U).*sin(V); >> y=sin(U).*sin(V);

>> z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5); >> mesh(x,y,z);

空间曲线

48 作出空间曲线xtcost,ytsint,z2t(0t6)的图形. 解：程序代码：

>> syms t;

ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])

xcos2t150绘制参数曲线 y的图形.

12tzarctant解：程序代码：

>> t=-2*pi:pi/100:2*pi;

x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t); plot3(x,y,z);

grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

多元函数微积分

实验6 多元函数微分学（基础实验）

实验目的 掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元

函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.

求多元函数的偏导数与全微分

52设zsin(xy)cos2(xy),求

zz2z2z,,,. xyx2xy解：程序代码：

>> syms x y;

S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2; D1=diff(S,'x',1); D2=diff(S,'y',1); D3=diff(S,'x',2); D4=diff(S,'y',2); D1,D2,D3,D4

答案： D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y

D2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x

D3 =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 D4 = -sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2

实验7 多元函数积分学（基础实验）

实验目的

掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.

计算重积分

54计算

xyD2dxdy, 其中D为由xy2,xy, y2所围成的有界区域.

解：程序代码：

>> syms x y;

int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2) 答案：ans =

193/120 重积分的应用

56求旋转抛物面z4x2y2在Oxy平面上部的面积S. 解：程序代码：

>> int(2*pi*r,r,0,2) 答案： ans =

4*pi

无穷级数与微分方程

实验8 无穷级数（基础实验） 实验目的

观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.

数项级数

58(1) 观察级数解：程序代码：

for i=1:100 s=0; for n=1:i s=s+1/n^2; end

plot(i,s,'.');hold on; end

1(2) 观察级数的部分和序列的变化趋势.

nn1nn112的部分和序列的变化趋势.

>> for i=1:100 s=0;

for n=1:i s=s+1/n; end

plot(i,s,'.'); hold on; end 60 求

1的值. 24n8n3n1解：程序代码：

>> syms n;

score=symsum(1/(4*n^2+8*n+3),1,inf) 答案： score =

1/6

函数的幂级数展开

62求arctanx的5阶泰勒展开式. >> syms x;

>> T5=taylor(atan(x),6) 答案：T5 =

x-1/3*x^3+1/5*x^5

实验9 微分方程（基础实验）

实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法.

求解微分方程

64求微分方程 y2xyxex的通解. 解：程序代码：

2>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') 答案：y =

(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)

66求微分方程y2y5yexcos2x的通解. 解：程序代码：

>> y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x)','x') 答案： y =

exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/4*exp(x)*sin(2*x)*x

dxtdtx2ye68求微分方程组在初始条件xt01,yt00下的特解.

dyxy0dt解：程序代码：

>> [x,y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t') 答案： x = cos(t)

y = 1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)

70求解微分方程解：程序代码：

>> syms x y

y=dsolve('Dy-2*y/(x+1)-(x+1)^(5/2)','x') 答案：y =

(2/3*(x+1)^(3/2)+C1)*(x+1)^2 做积分曲线 由>> syms x y

x=linspace(-5,5,100); C=input('请输入C的值:');

y=(2/3*(x+1).^(3/2)+C).*(x+1).^2; plot(x,y)

例如对应有： 请输入C的值:2 请输入C的值:20

dy2y(x1)5/2,并作出积分曲线. dxx1矩阵运算与方程组求解

实验10 行列式与矩阵

实验目的

掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.

矩阵A的转置函数Transpose[A]

1372 求矩阵51解：程序代码：

7242的转置. 6314>> A=[1,7,2;3,4,2;5,6,3;1,1,4]; >> Sove=A' 答案：Sove =

1 3 5 1 7 4 6 1 2 2 3 4 矩阵线性运算 73设A345427,B192,求AB,4B2A. 426解：程序代码：

>> A=[3,4,5;4,2,6]; B=[4,2,7;1,9,2]; S1=A+B S2=4*B-2*A 答案：S1 =

7 6 12 5 11 8 S2 =

10 0 18 -4 32 -4

43452174设ma,mb042638解：程序代码：

>> ma=[3,4,5,2;4,2,6,3];

>> mb=[4,2,7;1,9,2;0,3,5;8,4,1]; >> Sove=ma*mb 答案：Sove =

32 65 56

2792,求矩阵ma与mb的乘积. 3541 42 56 65 矩阵的乘法运算

427175设A192,B0,求AB与BTA,并求A3.

0351解：程序代码：

>> A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5]; B=[1;0;1]; >> AB=A*B AB = 11 3 5 >> BTA=B'*A BTA =

4 5 12 >> A3=A^3 A3 =

119 660 555 141 932 444 54 477 260 求方阵的逆 2576 设A03132233,求A1. 146215解：程序代码：

>> A=[2,1,3,2;5,2,3,3;0,1,4,6;3,2,1,5]; Y=inv(A) 答案：Y =

3277 设A1104401337,B153412153213,求A1B. 3322解：程序代码：

>> A=[3 0 4 4 ;2 1 3 3 ;1 5 3 4;1 2 1 5]; B=[0 3 2 ;7 1 3;1 3 3 ;1 2 2]; Solve=A'*B 答案：Solve =

16 16 17 14 20 22 25 26 28 30 37 39

3x2yz7,78 解方程组xy3z6,

2x4y4z2.解：程序代码：

>> A=[3 2 1;1 -1 3;2 4 -4]; b=[7 6 -2]; >> A\\b' 答案：ans =

求方阵的行列式

3110513132413.

52179 求行列式 D解：程序代码：

>> A=[3,1,-1,2;-5,1,3,-4;2,0,1,-1;1,-5,3,-3]; D=det(A) 答案：D =

40

a2b21a21b21c21d2abcd80求Dcd221a1b1c1d11. 11解：程序代码：

>> syms a b c d;

D=[a^2+1/a^2 a 1/a 1;b^2+1/b^2 b 1/b 1;c^2+1/c^2 c 1/c 1;d^2+1/d^2 d 1/d 1]; det(D) 答案：ans =

-(-c*d^2*b^3+c^2*d*b^3-c^3*d^2*a+c^3*d*a^2*b^4+c*d^2*a^3-c^3*d^2*a*b^4-c^2*d*a^3-c*d^2*b^3*a^4+c^2*d*b^3*a^4+c^3*d^2*b*a^4-c^3*d*b^2*a^4-c^2*d^3*b*a^4+c*d^3*b^2*a^4+c*d^2*a^3*b^4-c^2*d*a^3*b^4+c^3*d^2*b-c^3*d*b^2-c^2*d^3*b+c*d^3*b^2+c^3*d*a^2+c^2*d^3*a-c*d^3*a^2-b*d^2*a^3+b^2*d*a^3+b^3*d^2*a-b^3*d*a^2-b^2*d^3*a+b*d^3*a^2+b*c^2*a^3-b^2*c*a^3-b^3*c^2*a+b^3*c*a^2+b^2*c^3*a-b*c^3*a^2+c^2*d^3*a*b^4-c*d^3*a^2*b^4-b*d^2*a^3*c^4+b^2*d*a^3*c^4+b^3*d^2*a*c^4-b^3*d*a^2*c^4-b^2*d^3*a*c^4+b*d^3*a^2*c^4+b*c^2*a^3*d^4-b^2*c*a^3*d^4-b^3*c^2*a*d^4+b^3*c*a^2*d^4+b^2*c^3*a*d^4-b*c^3*a^2*d^4)/a^2/c^2/d^2/b^2

1x1281 计算范德蒙行列式x13x14x11x22x23x24x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52. x53x54x5解：程序代码：

>> syms x1 x2 x3 x4 x5;

>> A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2; x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4]; >> DC=det(A); >> DS=simple(DC) 答案：DS =

(-x5+x4)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x5+x2)*(x2-x4)*(x2-x3)*(-x5+x1)*(x1-x4)*(x1-x3)*(x1-x2)

3782 设矩阵 A1125792462569783790403, 求|A|,tr(A),A3. 76解：程序代码：

>> A=[3,7,2,6,-4;7,9,4,2,0;11,5,-6,9,3;2,7,-8,3,7;5,7,9,0,-6]; >> D=det(A),T=trace(A),A3=A^3 答案：D =

11592 T = 3 A3=

726 2062 944 294 -358 1848 3150 26 1516 228 1713 2218 31 1006 404 1743 984 -451 1222 384 801 2666 477 745 -125向量的内积

83 求向量u{1,2,3}与v{1,1,0}的内积. 解：程序代码：

>> u=[1 2 3]; v=[1 -1 0]; solve=dot(u,v) 答案：solve =

-1

184设A001,求A10.一般地Ak? (k是正整数).00解：程序代码：

>> syms r;

>> A=[r,1,0;0,r,1;0,0,r]; >> A^10 答案：ans =

[ r^10, 10*r^9, 45*r^8] [ 0, r^10, 10*r^9]

[ 0, 0, r^10]

11111a11111a85.求111a11的逆.

1111a11111a1解：程序代码：

>> syms a

A=[1+a,1,1,1,1;1,1+a,1,1,1;1,1,1+a,1,1;1,1,1,1+a,1;1,1,1,1,1+a]; solve=inv(A) 答案：solve =

[ 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)]

[ -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)]

[ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5)]

[ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5), -1/a/(a+5)]

[ -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), -1/a/(a+5), 1/a*(a+4)/(a+5)]

实验11 矩阵的秩与向量组的极大无关组

实验目的 学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.

求矩阵的秩

3213286 设M21313, 求矩阵M的秩.

70518解：程序代码：

>> M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; R=rank(M) 答案：R=

2 向量组的秩

87求向量组1(1,2,1,1),3(0,4,5,2),2(2,0,3,0)的秩. 解：程序代码：

>> A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; R=rank(A) 答案：R =

2

88向量组1(1,1,2,3),2(1,1,1,1),3(1,3,4,5),4(3,1,5,7)是否线性相关? 解：由>> A=[1 1 2 3;1 -1 1 1;1 3 4 5;3 1 5 7];

rank(A) ans = 3

即rank(A)=3 小于阶数4

89向量组1(2,2,7),2(3,1,2),3(1,1,3)是否线性相关? 解：由>> A3=[2,2,7;3,-1,2;1,1,3];

R=rank(A3) 得 R = 3

即rank(A3)=3 等于阶数3 故向量组线性无关。 向量组的极大无关组 90求向量组

1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0),5(2,1,5,0)

的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示. 解：程序代码：

>> A=[1,-1,2,4;0,3,1,2;3,0,7,14;1,-1,2,0;2,1,5,0]';

[R,b]=rref(A) 答案：R =

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 b =

1 2 4 >> A(:,b)

极大无关相量组ans =

1 0 1 -1 3 -1 2 1 2 4 2 0

即

1，2，4为所求的极大无关向量组

3＝31＋2 5＝1＋2＋4

向量组的等价 91设向量

1(2,1,1,3),2(3,2,1,2),1(5,8,5,12),2(4,5,3,7),

求证:向量组1,2与1,2等价. 解：程序代码：

>> A=[2,1,-1,3;3,-2,1,-2;-5,8,-5,12;4,-5,3,-7]'; [R,jb]=rref(A) R =

1 0 2 -1 0 1 -3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 jb = 1 2

1= 21-32 2= -1+22

即任何由

1与2表示的向量都能用1与2表示，两组等价

实验12 线性方程组

实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Matlab命令求各类线性方程 组的解. 理解计算机求解的实用意义.

x1x22x3x40,3x1x2x32x40,92求解线性方程组

5x7x3x0,2342x13x25x3x40.解：程序代码：

>> A=[1,1,-2,-1;3,-1,-1,2;0,5,7,3;2,-3,-5,-1]; >> B=[0,0,0,0]; >> X=A\\B' 答案：X =

0 0 0 0

非齐次线性方程组的特解

x1x22x3x443x12x2x32x4293 求线性方程组5x27x33x422x13x25x3x44 的特解.

非齐次线性方程组的通解 x1x22x3x412x1x2x32x4394解方程组x1x3x423x1x23x45

解：程序代码：

>> A=[1,-1,2,1;2,-1,1,2;1,0,-1,1;3,-1,0,3]; b=[1;3;2;5]; B=[A b]; r1=rank(A); r2=rank(B);

if r1==r2 R=rref(B) end 答案：R =

1 0 -1 1 2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 即

x1=2+,

x3x4-

x2=1+3

x3

令(

x3x4)=(0,1)’ 与(1,0)’

得特解y*=(2，4，1，1)’

故通解为y=(2，4，1，1)’+a(1,1,0,1)’+b(3,4,1,0)’

矩阵的特征值与特征向量

实验13 求矩阵的特征值与特征向量

实验目的

学习利用Matlab命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.

求方阵的特征值与特征向量.

10295求矩阵A121.的特征值与特值向量.

130解：程序代码：

>> A=[-1,0,2;1,2,-1;1,3,0]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

- + + -

D =

0 0 0 + 0 0 0 -

23496求矩阵A345的特征值与特征向量.

456解：程序代码：

>> A=[2,3,4;3,4,5;4,5,6]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

D =

0 0 0 0 0 0

12397 求方阵M213的特征值和特征向量.

336解：程序代码：

>> A=[1 2 3; 2 1 3;3 3 6]; [V,D]=eig(A) 答案：V =

0 D =

0 0 0 0 0 0

1/31/31/298求矩阵A1/511/3的特征值和特征向量的近似值.

612解：程序代码：

>> A=[1/3,1/3,-1/2;1/5,1,-1/3;6,1,-2]; >> [S,R]=eig(A) 答案：S =

+ - + -

R =

+ 0 0 0 - 0 0 0

30099已知2是方阵A1t3的特征值,求t.

123解：程序代码：

>> syms t;

A=[3 0 0;1 t 3;1 2 3]; E=eye(size(A)); T=t*E-A;

det(T) ans = -6*t+18

>> t=solve('-6*t+18=0','t') t = 3

矩阵的相似变换

411100设矩阵A222,求一可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵.

222解：程序代码：

>> A=[4 1 1;2 2 2;2 2 2]; [p,j]=jordan(A) p =

0 j =

0 0 0 0 2 0 0 0 6

10101 方阵A21是否与对角阵相似?

200100102 已知方阵A2x2与B020相似, 求x,y.

31100y解：程序代码：1 求特征值

>> syms x y;

A=[-2 0 0;2 x 2;3 1 1];B=[-1 0 0;0 2 0;0 0 y]; a=eig(A),b=eig(B) a =

-2 1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) 1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) b = -1

2 y 显然y=-2

一．试 >> x=solve('1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)=-1','x')

x =

再验证另一个特征值

>> 1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2) ans = 不合题

二．试 >> x=solve('1/2*x+1/2-1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)=-1','x')

得：x =0 再验证另一个特征值

>> 1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)

ans =1/2+1/2*9^(1/2) >> simplify (ans)

ans=2 合题

即x =0 y=-2

2104 求一个正交变换,化二次型f2x1x22x1x32x2x32x4为标准型.

解：该二次型所对应的矩阵是 程序代码：

：>> A=[0,1,1,0;1,0,1,0;1,1,0,0;0,0,0,2];

>> [P,T]=schur(A)

得P = 0

0 0

0 0 0 T = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以二次型的标准型为