名师讲义第8讲 分式函数分析

教学内容 8一，类反比例的分式函数 axb函数y(c0,adbc)的图象和性质： cxdda（1）定义域：{x|x} ccOa（2）值域：{y|y} cdd（3）单调性：单调区间为(,),(,+) ccdada（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x,y，对称中心为点(,)

cccc（5）奇偶性：当ad0时为奇函数。（6）图象：如图所示。

642-10-5-2-dc5

例1.（1）函数y1的图象是（） x1

A B C D

axa21（2）已知函数图象C与C:y关于直线yx对称,且图象C关于(2,3)对

xa1称,则a的值为___________. (3)已知函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数，若函数f1(x)xa xa(xa，xR)的图像过点(2，3)，则f(4)＝ ．

(4)某同学在研究函数f(x)x(xR)时，分别给出下面几个结论：

1|x|

①等式f(x)f(x)0对xR恒成立； ②函数f(x)的值域为(1,1)；

③若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)； ④函数g(x)f(x)x在R上有三个零点。

其中正确结论的序号有________________。（请将你认为正确的结论的序号都填上）

（5）若关于x的方程

例2.已知函数f(x)|x|kx2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ． x32x； x1（1）求出函数f(x)的对称中心；

（2）证明：函数f(x)在(1,)上为减函数；

（3）是否存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，若存在求出x0；若不存在，说明理由。

例3.函数f(x)=

x(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

axb(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

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例4. 函数f(x)x x1⑴求证：f(x)的图像关于直线y=x对称；

⑵函数y=ax-a+2的图像与函数f(x)的图像有且只有一个交点，求实数a的值； ⑶是否存在圆心在原点的圆与函数f(x)的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。

例5.已知函数f(x)xa(a0) ax（1）判断并证明yf(x)在x(0,)上的单调性；

（2）若存在x0，使fx0x0，则称x0为函数fx的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x0；

（3）若f(x)2x在x(0,)上恒成立 , 求a的取值范围．

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二，“小对勾”函数和“大对勾函数”

b2．函数yax(a0,b0)的图象和性质：

x（1）定义域：{x|x0}

-6-4542ab23y=ax--2ba1O-1（2）值域：{y|y2ab,或y2ab} （3）奇偶性：奇函数

ba-2ab246-2-3bb,+),(,]上是增函数； （4）单调性：在区间[aa在区间(0,-4bb],[,0)上是减函数 aa5（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数yax4y=axb(a0,b0)的图象和性质： x-6-4-2321（1）定义域：{x|x0} （2）值域：R

（3）奇偶性：奇函数

（4）单调性：在区间(0,+)和(,0)上是增函数。

O-1246-2-3-4（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。 基础练习：求函数yx

可变成耐克函数的函数：

4的值域（变化同二次函数） xx23x1例6：求函数fxx3,5的值域

x

x23x1例7：求函数fxx3,5的值域

x2

例8：求函数fx

x1x3,5的值域

x23x5第4页共7页

x23x1例9：求函数fxx3,5的值域 2x

x23x1例10：求函数fxx3,5的值域 2x1

例11. 函数yx2

例12.设f(x)x362x的最小值是_____________ 2x2a,x[0,+)。 x1（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；

（2）当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。 (3)已知aR，函数f(x)x

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a（x[0,)，求函数f(x)的最小值． x1

第8次课后作业 学生姓名： 1．已知f(x)xb3,x[1,2] x(1) b2时，求f(x)的值域；

(2)b2时，f(x)的最大值为M，最小值为m，满足：Mm4，求b的取值范围．

2．已知函数f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点A、B，AB2i2j（i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)xx6. （1）求k,b的值；

（2）当x满足f(x)g(x)时，求函数

3.设a1，函数f(x)的图像与函数y4a（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程f(x)m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；

（3）设函数g(x)f(x)，x[2,)，g(x)满足如下性质：若存在最大（小）值，

则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

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|x2|2g(x)1的最小值. f(x)2ax2的图像关于点A(1,2)对称．

创新题： 1．我们把形如yba0,b0的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称xa为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a1，b1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为

2，设hxx（1）写出h4x的定义域；

m1,x,5，其中m是不等于零的常数， x4（2）求hx的单调递增区间；

（3）已知函数f(x)(x[a,b]，)定义：f1(x)min{f(t)|atx}(x[a,b])，

其中，min{f(x)|xD}表示函数f(x)在D上f2(x)max{f(t)|atx}(x[a,b])．

的最小值，max{f(x)|xD}表示函数f(x)在D上的最大值．例如：f(x)cosx，

，当m1时，设x[0,]，则f1(x)cosx,x[0,] ，f2(x)1,x[0,]

Mx

hxh4xhxh4x，不等式tM1xM2xn 22恒成立，求t,n的取值范围（11分）；

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