一、选择题（本大题共6小题，共18.0分） 1. 下列说法中正确的有( )
①零是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2
，√0.1，−32. 在√8，√√27中，是最简二次根式的是( ) 2
A. √8
2
B. √ 2
C. √0.1 D.
3. 下列四个方程中，有一个根是𝑥=2的方程是( )
A. 𝑥−2+2−𝑥=0 C. √𝑥−6=2
2
𝑥
B.
𝑥−22
+
2−𝑥𝑥
=0
D. √𝑥−2⋅√𝑥−3=0
4. 下列关于抛物线𝑦=−𝑥2+2的说法正确的是( )
A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为(−1,2)
C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
5. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得
∠𝐵𝐴𝐷=30°，在C点测得∠𝐵𝐶𝐷=60°，又测得𝐴𝐶=60米，则小岛B到公路l的距离为( )
A. 30米 B. 30√3米 C. 40√3米 D. (30+30√3)米
6. 下列命题中，为真命题的是( )
A. 对顶角相等 C. 若𝑎2=𝑏2，则𝑎=𝑏
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
B. 同位角相等
D. 若𝑎>𝑏，则−2𝑎>−2𝑏
7. 计算：𝑥+1−𝑥+1=______．
8. 分解因式：𝑎2−5𝑎−14=________． 9. 方程2𝑥4−8=0的根是______
10. 已知正比例函数𝑦=−2𝑥，那么y的值随x的值增大而______.(填“增大”或“减小”) 11. 若关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘−2=0有两个相等的实数根，则k的值为______． 12. 如图，已知直线l：𝑦=𝑘𝑥+𝑏与x轴的交点坐标是(−3,0)，则不等
式𝑘𝑥+𝑏≥0的解集是______．
1
2𝑥+3
13. 在长度为3，6，8，10的四条线段中，任意选择一条线段，使它与已知线段4和7能组成三角
形的概率为______．
14. 四边形ABCD中，向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=______
AB是⊙𝑂的直径，𝐴𝐷=2，如图，弦𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点D，如果𝐸𝐹=8，15. 已知：
则⊙𝑂半径的长是______．
16. 新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿
童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为______．
17. ⊙𝑂的半径为4cm，则⊙𝑂的内接正三角形的周长是______cm．
18. 在▱ABCD中，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋
转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
119. 计算：√2+1+(−1)2018−2𝑐𝑜𝑠45°+8 3．
1
𝑥+1
20. 解不等式组{
>1
，并在数轴上把解集表示出来．
7𝑥−8≤9𝑥
2
21. “停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的
是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5 整理数据： 时长𝑥(小时) 人数 分析数据：
2 4<𝑥≤5 a 5<𝑥≤6 8 6<𝑥≤7 4 7<𝑥≤8 项目 数据 应用数据：
平均数 6.4 中位数 6.5 众数 b (1)填空：𝑎=______，𝑏=______； (2)补全频数直方图；
(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<𝑥≤7小时的人数．
22. 如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+𝑐过原点且与x轴交于点A，顶点的纵坐标是−4．
(1)求抛物线的函数表达式及点A坐标；
(2)根据图象回答：当x为何值时抛物线位于x轴上方？
(3)直接写出所求抛物线先向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到抛物线的函数表达式．
23. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐴𝐵//𝐶𝐷．
(1)求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷;
(2)若∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴，求证：四边形ABCD是矩形．
24. 如图，已知反比例函数𝑦=𝑥(𝑥 > 0,k是常数)的图象经过点𝐴(1,4)，点𝐵(𝑚,𝑛)，其中𝑚>1，
𝐴𝑀⊥𝑥轴，垂足为M，𝐵𝑁⊥𝑦轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
𝑘
(1)写出反比例函数解析式； (2)求证：𝛥𝐴𝐶𝐵∽𝛥𝑁𝑂𝑀；
25. 如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，点O在BC边上，∠𝐵𝐴𝐶的平分线交⊙𝑂于点D，连接BD、CD，
过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． (1)求证：PD是⊙𝑂的切线； (2)求证：𝐴𝐵⋅𝐶𝑃=𝐵𝐷⋅𝐶𝐷；
(3)当𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐴𝐶=12𝑐𝑚时，求线段PC的长．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义． ①根据实数的定义即可判定； ②根据无理数的定义即可判定； ③根据无理数、有理数的定义即可判定； ④根据分数和无限小数的关系即可判定； ⑤根据无理数的概念即可解答． 解：①没有最小的实数，故说法错误；
②无理数就是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，故说法错误； ③不带根号的数不一定是有理数，例𝜋就不带根号但它是无理数，故说法错误； ④无限循环小数能化成分数，故说法错误； ⑤无限不循环小数是无理数，故说法正确； 故选B．
2.答案：B
解析：
本题主要考查了最简二次根式的定义，如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式.
根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 解：A．√8=2√2，不是最简二次根式； B.√2是最简二次根式；
2
C.根号内含有小数，不是最简二次根式；
D.不是二次根式． 故选B．
3.答案：B
解析：解：当𝑥=2时，方程𝑥−2+2−𝑥=0中的分母𝑥−2=0，故𝑥=2不是方程𝑥−2+2−𝑥=0的根，故选项A错误；
𝑥−22
2
𝑥
2
𝑥
+
2−𝑥𝑥
=0，解得𝑥=2，故
𝑥−22
+
2−𝑥𝑥
=0的根是𝑥=2，故选项B正确；
√𝑥−6=2，解得𝑥=10，故选项C错误；
√𝑥−2⋅√𝑥−3=0，解得𝑥=2(增根)或𝑥=3，故方程√𝑥−2⋅√𝑥−3=0有一根是𝑥=2使得原无理方程无意义，故选项D错误； 故选：B．
可以先将各个选项的方程解出来，然后看看哪个方程的其中一个根是𝑥=2，从而可以解答本题． 本题考查无理方程、分式方程的解，解题的关键是明确方程的解答方法．
4.答案：D
解析：
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中，对称轴为𝑥=ℎ，顶点坐标为(ℎ,𝑘).由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，可求得答案． 解：∵𝑦=−𝑥2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴𝐴、B、C都不正确，D正确， 故选D．
5.答案：B
解析：
本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点B作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于E，设𝐵𝐸=𝑥，则可以表示出CE，AE的长，再根据已知列方程从而可求得BE的长． 解：过点B作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于E，
设𝐵𝐸=𝑥，
∵∠𝐵𝐶𝐷=60°，tan∠𝐵𝐶𝐸=𝐶𝐸， ∴𝐶𝐸=
√3𝑥， 3
𝐵𝐸
在直角△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸=√3𝑥，𝐴𝐶=60米， 则√3𝑥−√𝑥=60．
3解得𝑥=30√3．
即小岛B到公路l的距离为30√3米． 故选B．
36.答案：A
解析：
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题． 解：A、对顶角相等为真命题；
B、两直线平行，同位角相等，故为假命题； C、𝑎2=𝑏2，则𝑎=±𝑏，故为假命题； D、若𝑎>𝑏，则−2𝑎<−2𝑏，故为假命题； 故选：A．
7.答案：−1
解析：解：𝑥+1−𝑥+1=故答案为−1；
2𝑥+32−𝑥−3𝑥+1
=
−𝑥−1𝑥+1
=−1；
将分式进行化简𝑥+1−𝑥+1=
2𝑥+32−𝑥−3𝑥+1
=
−𝑥−1𝑥+1
=−1，即可求解；
本题考查分式的加减运算；熟练掌握分式的运算方法是解题的关键．
8.答案：(𝑎−7)(𝑎+2)
解析：
本题考查了因式分解，直接利用十字相乘法进行分解即可． 解：𝑎2−5𝑎−14=(𝑎−7)(𝑎+2)， 故答案为(𝑎−7)(𝑎+2)．
9.答案：±2
解析：解：2𝑥4−8=0，
12
1
𝑥4=8，
𝑥4=16， 开方得：𝑥2=4， 开方得：𝑥=±2， 故答案为±2．
移项，系数化成1，再开方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
10.答案：减小
解析：解：因为正比例函数𝑦=−2𝑥中的𝑘=−2<0， 所以y的值随x的值增大而减小． 故答案是：减小．
直接根据正比例函数的性质解答．
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的图象为直线，当𝑘>0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当𝑘<0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
11.答案：6
解析：
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数；(3)△<0⇔方程没有实数根． 根据方程有两个相等的实数根得到𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=0，求出k的值即可． 解：∵一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘−2=0有两个相等的实数根， ∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−4)2−4×1×(𝑘−2)=0， ∴16−4𝑘+8=0， ∴𝑘=6． 故答案为6．
12.答案：𝑥≤−3
解析：解：当𝑥≤−3时，𝑦≥0，即𝑘𝑥+𝑏≥0， 所以不等式𝑘𝑥+𝑏≥0的解集是𝑥≤−3． 故答案为：𝑥≤−3．
观察函数图象得到当𝑥≤−3时，函数图象在x轴上(或上方)，所以𝑦≥0，即𝑘𝑥+𝑏≥0． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13.答案：4
解析：解：∵从3，6，8，10的四条线段中选取一条有4种等可能结果，其中与已知线段4和7能组成三角形的有6，8，10这3种结果， ∴与已知线段4和7能组成三角形的概率为4， 故答案为：4．
8，10这3种结果，根据四条线段中与已知线段4和7能组成三角形的有6，利用概率公式计算可得． 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
3
3
3
⃗⃗⃗⃗⃗ 14.答案：⃗𝐴𝐷
解析：解：如图连接AC．
⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐶𝐶𝐷=⃗𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=⃗𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 故答案为𝐴𝐷
连接AC，根据三角形法则计算即可；
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
15.答案：5
解析：解：连接OE，如下图所示，则： 𝑂𝐸=𝑂𝐴=𝑅，
∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐸𝐹⊥𝐴𝐵， ∴𝐸𝐷=𝐷𝐹=4， ∵𝑂𝐷=𝑂𝐴−𝐴𝐷， ∴𝑂𝐷=𝑅−2，
在𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐸中，由勾股定理可得： 𝑂𝐸2=𝑂𝐷2+𝐸𝐷2， ∴𝑅2=(𝑅−2)2+42， ∴𝑅=5． 故答案为：5．
连接OE，由题意得：𝑂𝐸=𝑂𝐴=𝑅，𝐸𝐷=𝐷𝐹=4，再解𝑅𝑡△𝑂𝐷𝐸即可求得半径的值． 本题考查了垂径定理和解直角三角形的运用．
16.答案：(40−𝑥)(20+2𝑥)=1200
解析：解：设每件童裝应降价x元，可列方程为： (40−𝑥)(20+2𝑥)=1200．
故答案为：(40−𝑥)(20+2𝑥)=1200．
根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．
17.答案：12√3
解析：解：如图所示：
∵半径为4cm的圆的内接正三角形， ∴在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，𝑂𝐵=4𝑐𝑚，∠𝑂𝐵𝐷=30°， ∴𝐵𝐷=𝑐𝑜𝑠30°×𝑂𝐵=∵𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷=4√3𝑐𝑚，即它的内接正三角形的边长为4√3𝑐𝑚， ∴⊙𝑂的内接正三角形的周长是4√3×3=12√3𝑐𝑚． 故答案为：12√3．
欲求△𝐴𝐵𝐶的周长，只要求出其边长即可，把△𝐴𝐵𝐶中BC边当弦，作BC的垂线，在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，求BD的长；根据垂径定理知：𝐵𝐶=2𝐵𝐷，从而求正三角形的边长．
本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出∠𝑂𝐵𝐷=30°是解题关键，此题难度一般，是一道比较不错的试题．
√32
×4=2√3𝑐𝑚，
18.答案：4√2或3√2
解析：解：如图，过O点作𝑂𝐸⊥𝐴𝐷于E，过C点作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于F， ∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，
∴△𝐴𝑂𝐴′是等腰直角三角形， ∴△𝐴𝐴′𝐶是等腰直角三角形， 设𝐴𝐴′=𝑥，则𝐶𝐹=𝑥，𝐷𝐹=7−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，𝑥2+(7−𝑥)2=52， 解得𝑥1=4，𝑥2=3，
在𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐴中，𝐴𝐶=4√2或3√2．
故答案为：4√2或3√2．
如图，过O点作𝑂𝐸⊥𝐴𝐷于E，过C点作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于F，根据旋转的性质可得△𝐴𝑂𝐴′是等腰直角三△𝐴𝐴′𝐶是等腰直角三角形，角形，再根据勾股定理可求𝐴𝐴′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
2
19.答案：解：原式=√2−1+1−2×√+2 2
=√2−√2+2
=2．
解析：直接利用二次根式的性质和分数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
𝑥+1
20.答案：解：{
2
>1①
7𝑥−8≤9𝑥②
解不等式①，得𝑥>1， 解不等式②，得𝑥≥−4，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
∴原不等式组的解集为𝑥>1，．
解析：本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
21.答案：6 6.5
解析：解：(1)由总人数是20人可得在5<𝑥≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以𝑎=6， 根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数𝑏=6.5； 故答案为：6，6.5；
(2)由(1)得𝑎=6．
频数分布直方图补充如下：
(3)由图可知，学习时长在5<𝑥≤7小时的人数所占的百分比=∴1000×70%=700(人)．
∴学习时长在5<𝑥≤7小时的人数是700人．
(1)根据各组频数之和等于数据总数，可得5<𝑥≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；
(2)根据(1)中的数据画图即可；
(3)先算出样本中学习时长在5<𝑥≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可． 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．
6+820
×100%=70%，
22.答案：解：(1)∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−
∴设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2−4， 把(0,0)代入得4𝑎−4=0，解得𝑎=1， ∴抛物线解析式为𝑦=(𝑥−2)2−4． A点坐标为(4,0)．
−4𝑎2𝑎
=2，故A点横坐标为4，
(2)当𝑦=0时，(𝑥−2)2−4=0，解得𝑥1=0，𝑥2=4， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)， 当𝑥<0或𝑥>4时，抛物线位于x轴上方；
(3)当(2,−4)先向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(−1,1)，所以平移后的抛物线的函数表达式为𝑦=(𝑥+1)2+1．
解析：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，c是常数，𝑎≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
(1)先利用抛物线对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线𝑥=2，则可设顶点式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2−4，然后把原点坐标代入求出a即可；
(2)先解方程(𝑥−2)2−4=0得抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)，然后写出抛物线位于x轴上方所对应的自变量的范围即可；
(3)利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线的函数表达式．
23.答案：证明：(1) ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐷， 在△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐶𝐷中，
∴△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐶𝐷(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷．
(2)由(1)知，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑂𝐴= 1
1
2𝐴𝐶，𝑂𝐵=2𝐵𝐷． ∵∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐵， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷，
∴四边形ABCD是矩形．
∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷,
{𝑂𝐴=𝑂𝐶,∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐷,
解析：本题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法及三角形全等的判定方法． (1)先根据平行得出内错角相等，利用三角形全等的判定可得△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐶𝐷，根据全等三角形的性质可得结论；
(2)先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，根据𝑂𝐴=𝑂𝐵可得对角线相等，从而可得结论．
24.答案：解：(1)∵𝑦=𝑥(𝑥>0,k是常数)的图象经过点𝐴(1,4)，
∴𝑘=4，
∴反比例函数解析式为𝑦=𝑥； (2)∵点𝐴(1,4)，点𝐵(𝑚,𝑛)，
∴𝐴𝐶=4−𝑛，𝐵𝐶=𝑚−1，𝑂𝑁=𝑛，𝑂𝑀=1， ∴
𝐴𝐶𝑁𝑂
4
𝑘
=
4−𝑛𝑛
= −1，
𝑛
4
∵𝐵(𝑚,𝑛)在𝑦=𝑥上， ∴𝑛 =𝑚， ∴
𝐴𝐶𝑁𝑂4
4
=𝑚−1，而
𝐵𝐶
𝑀𝑂
=
𝑚−11
，
∴
𝐴𝐶𝑁𝑂
=
𝐵𝐶𝑀𝑂
，
∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝑁𝑂𝑀=90°， ∴△𝐴𝐶𝐵∽△𝑁𝑂𝑀．
解析：本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法的应用以及相似三角形的判定和性质． (1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点A的坐标代入
即可求出k，从而得到反比
例函数解析式．
(2)由于∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝑁𝑂𝑀 = 90°，所以要证𝛥𝐴𝐶𝐵∽𝛥𝑁𝑂𝑀，只要
和
，证明它们相等即可．
即可，由已知分别求出
25.答案：(1)证明：连接OD．
∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ⏜， ⏜=𝐶𝐷∴𝐵𝐷
∴∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐷=90°， ∵𝐵𝐶//𝑃𝐴，
∴∠𝑂𝐷𝑃=∠𝐵𝑂𝐷=90°， ∴𝑂𝐷⊥𝑃𝐴， ∴𝑃𝐷是⊙𝑂的切线．
(2)证明：∵𝐵𝐶//𝑃𝐷， ∴∠𝑃𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷． ∵∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝑃𝐷𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=180°，∠𝐴𝐶𝐷+∠𝑃𝐶𝐷=180°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑃𝐶𝐷， ∴△𝐵𝐴𝐷∽△𝐶𝐷𝑃， ∴
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
𝐵𝐷𝐶𝑃
，
∴𝐴𝐵⋅𝐶𝑃=𝐵𝐷⋅𝐶𝐷．
(3)解：∵𝐵𝐶是直径， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∵𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=12，
∴𝐵𝐶=√52+122=13， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=
13√22
，
∵𝐴𝐵⋅𝐶𝑃=𝐵𝐷⋅𝐶𝐷． ∴𝑃𝐶=
13√213√2×22
5
=
13． 10
解析：(1)想办法证明𝑂𝐷⊥𝑃𝐷即可． (2)证明△𝐵𝐴𝐷∽△𝐶𝐷𝑃，即可解决问题．
(3)利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用(2)中结论即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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