《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)

【学习目标】

1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；

2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式

m，另一个因式是

，即，而正好是

除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即a2abbab，a2abbab.

222222形如a2abb，a2abb的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边

是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）

这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以

是单项式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式xbxc，若存在分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

22222pqc2 ，则xbxcxpxq

pqb因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、分解因式：

(1)2abc8ac4abc；

(2)m(mn)m(mn)m(mn)(mn)． 【答案与解析】

解：(1)2abc8ac4acb2ac(abc4c2b)． (2)m(mn)m(mn)m(mn)(mn)

【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．

2、利用分解因式证明：255能被120整除．

【思路点拨】25＝5，进而把25整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可． 【答案与解析】 证明：255＝571271227712322223222227512

∴255能被120整除．

【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．

类型二、公式法分解因式

3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：xy4xy4xy2222，小

明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．

【思路点拨】把xy、xy分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答． 【答案与解析】

解：把xy、xy看作完全平方式里的a,b；

原式＝xy2xy22xyxy

【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把xy、xy看作完全平方式里的a,b是解题的关键． 举一反三：

【变式】下面是某同学对多项式x24x2解：设x4xy

原式＝y2y64（第一步） ＝y8y16（第二步） ＝y4（第三步） ＝(x4x4)（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）． A、提取公因式 B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式x22x222222x24x64进行因式分解的过程．

2x22x21进行因式分解．

【答案】

解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；

（2）x4x4还可以分解，分解不彻底；结果为x2.

24（3）设x2xy． ＝y12，

224、因式分解： （1）6xy9xyy； （2）p4p13p.

【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可. 【答案与解析】

223解：（1）6xy9xyy （2）p4p13p

【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． 举一反三：

2222【变式】设a131，a253，…，an2n12n1（n为大于0的自然

22322数）．（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）． 【答案】

解：（1）∵an2n12n14n4n14n4n18n，

2222又n为非零的自然数， ∴an是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．

n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数

类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式

5、分解因式：（1）x22x2222

（2）x4x222x24x20

2（3）4a4abb6a3b4

【答案与解析】

解：（1）原式x22（2）原式＝x4x2x221x2x2x1x1

22(x24x)20x24x5x24x4

（3）原式＝2ab32ab42ab42ab1 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题. 举一反三： 【变式】（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．

【答案】解：将（）看成一个整体，原式=（x﹣10）（x﹣y﹣5）．

26、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，

且xxy4xy4y＝0，求长方形的面积．

【思路点拨】把xxy4xy4y＝0化简成xyx2yx2y，可得x2y，

32233223由题意可得xy150，解方程组【答案与解析】

解：∵xxy4xy4y＝0

∴x23223x2y即可.

xy150xy4y2xy＝0

∵xyx2yx2y＝0

∴x2y，xy，x2y（不合题意，舍去） 又由题意可得xy150

解方程组x2y

xy150解之得，x＝100，y＝50

∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．

【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法． 举一反三：

【变式】因式分解：14x4y8xy，正确的分组是（ ）

22A．(14x)(8xy4y) B．(14x4y)8xy

222222C．(18xy)(4x4y) D．1(4x4y8xy)

22【答案】D；

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中4x4y8xy正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．

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