2020-2021学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（3分）下面四个标志分别代表：回收、绿色包装、节水、低碳，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A．m≠1
B．m＝1
C．m≥1
D．m≠0
3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（ ） A．（﹣2，2）
B．（2，﹣2）
C．（2，2）
D．（﹣2，﹣2）
4．（3分）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（ ） A．x﹣6＝﹣8 5．（3分）下列关于函数0），其中正确的有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B．x﹣6＝8
C．x+6＝8
D．x+6＝﹣8
的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，
6．（3分）如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA（ ）
A．顺时针旋转90° C．逆时针旋转90°
B．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
7．（3分）把方程x2﹣4x﹣6＝0配方，化为（x+m）2＝n的形式应为（ ） A．（x﹣4）2＝6
B．（x﹣2）2＝4
C．（x﹣2）2＝0
D．（x﹣2）2＝10
8．（3分）把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A．y＝﹣2（x+1）2+2
B．y＝﹣2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
9．（3分）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC＝4，则E′D′＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．1.5
10．（3分）在一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a≠0）中，若a、c异号，则方程（ ） A．根的情况无法确定 C．有两个不相等的实数根
B．没有实数根 D．有两个相等的实数根
11．（3分）如图，在一块长为20m，宽为15m的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为546m2，如果设小路的宽度为xm，那么下列方程正确的是（ ）
A．（20﹣x）（15﹣x）＝546 C．（20﹣2x）（15﹣2x）＝546
B．（20+x）（15+x）＝546 D．（20+2x）（15+2x）＝546
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论： ①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0， 其中结论正确有（ ）个．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
13．（3分）方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 14．（3分）平面直角坐标系中，点P的坐标是（2，﹣1），则点P关于原点对称的点的坐标是 ．
15．（3分）一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为 ．
16．（3分）写出有一个根为3的一元二次方程： ．
17．（3分）若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，∁n，…．则点A4的坐标为 ；∁n的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．
三、解答题：本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 19．（8分）用指定的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣1＝0（用配方法）； （2）2x2﹣8x+3＝0（用公式法）．
20．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A1B1C1，请你在图中画出△A1B1C1； （2）写出点A1的坐标； （3）求△A1B1C1的面积．
21．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交
点坐标．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
23．（10分）如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB＝12，BE＝5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角为 度； （2）△AEF是 三角形； （3）求EF的长．
24．（10分）某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
（1）平均每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点． （Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷
试题解析
一.选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．
2．【解答】解：由题意得：m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为：（2，2）， 故选：C．
4．【解答】解：∵（x+6）2＝64， ∴x+6＝8或x+6＝﹣8， 故选：D．
5．【解答】解：①二次函数②因为a＝﹣
的图象是抛物线，正确；
＜0，所以抛物线开口向下，正确；
③因为b＝0，所以对称轴是y轴，正确； ④顶点（0，6）也正确． 故选：D．
6．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠COD＝∠DOA＝90°，OC＝OD＝OA， 故选：C．
7．【解答】解：x2﹣4x﹣6＝5， x2﹣4x＝6，
（x﹣2）6＝10， 故选：D．
8．【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）4+2， 故选：C．
9．【解答】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′，
∵D′E′是△A′B′C′的中位线， 故选：A．
10．【解答】解：∵若a与c异号， ∴△＝b2﹣4ac＝16﹣4ac＞0， 故选：C．
11．【解答】解：依题意得：（20+2x）（15+2x）＝546． 故选：D．
12．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a＞0； 抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0； 故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣∴2a+b＝0，故8a﹣b＝0错误；
④根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞8；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故④错误； ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣6，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜2，即9a+3b+c＜0；故⑤正确； 故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 13．【解答】解：方程化为一般式为4x2﹣2x＝0，
＝1，b＝﹣2a，
所以二次项系数是4，一次项系数是﹣2，常数项是5． 故答案为4，﹣2，0．
14．【解答】解：∵点P的坐标是（2，﹣1）， ∴点P关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，4）．
15．【解答】解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2， 则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2， 故答案为：y＝60（1﹣x）2．
16．【解答】解：要使一元二次方程的一个根是3， 则此方程满足（x﹣3）（x﹣a）＝0的形式， x2﹣3x＝0．
故本题的答案可以是：x2﹣3x＝4．
17．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上， ∴顶点的纵坐标为零，即y＝解得b＝±6．
18．【解答】解：这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C6，…，∁n，…． 则点A4的坐标为 （12，0）；Cn的顶点坐标为 （3n﹣故答案为：（12，0），（3n﹣
，（﹣1）
）．
，（﹣1）n+1•
），
＝
＝6，
三、解答题：本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 19．【解答】（1）解：x2+4x＝1， x2+4x+4＝5 x+2＝±
，
（2）解：∵a＝2，b＝﹣8，c＝3， ∴x＝∴x1＝
＝，x2＝
， ．
20．【解答】解：（1）△A1B1C2如图所示；
（2）A1（1，﹣3）； （3）△A5B1C1的面积＝
×8×2＝4．
21．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1）， ∴
，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6， ∴x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
22．【解答】解：（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞4， 解得：k＜
；
（2）由k为正整数，得到k＝1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±∴5﹣2k为完全平方数， 则k的值为2．
23．【解答】解：（1）从图形和已知可知：旋转中心是点A，旋转角的度数等于∠BAD的度数，是90°， 故答案为：点A，90； （2）等腰直角三角形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合， ∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形，
（3）由旋转可知∠EAF＝90°，△ABE≌△ADF，
，
在Rt△ABE中，∵AB＝12，BE＝5， ∴
＝
＝
．
24．【解答】解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）＝﹣3x+240； （2）W＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣4x2+360x﹣9600； （3）y＝﹣3x7+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200， 故当x＝60时，y取最大值1200， ∴当x＜60时，y随x的增大而增大， ∴当x＝55时，W取得最大值为1125元，
即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润． 25．【解答】解：（Ⅰ）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：解得
，
，
（Ⅱ）存在，理由：
将点B（﹣2，0）、C（0，8）代入得：
，解得
，
直线BC与抛物线对称轴 x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小． 故点Q的坐标为（﹣6，6）； 如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣3＜x＜0）， 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， 当x＝﹣2时，S四边形BPCO最大值＝24， 当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，3）．
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