《二次函数的图像与性质》参考教案6

27.2 二次函数的图象与性质(6)

知识技能目标

1.会求给定二次函数的最值；

2.理解二次函数最值的含义，培养数形结合的观念． 过程性目标

1.学生通过用二次函数的知识解决实际问题中的最值的过程，体会数学理论知识对日常生活的作用，发展数学知识的应用能力；

2.经历解决有关际问题中最值问题的探究过程，促进学生的协作能力． 教学过程 一、创设情境

问题 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？

分析 如图，如果设花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为y m2，

那么 y = x(20-2x) 且0＜x＜10 . 二、探究归纳

上述问题中的函数关系式 yx(202x)(0x10)， 化为 y2x220x(0x10).

这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数

y2x220x(0x10)

取得最大值.

将这个函数的关系式配方，得

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y2(x5)250.

显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是(5，50)，这就是说，当x=5时，函数取得最大值y=50. 这时，AB=5(m),BC=20-2x=10(m).

所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长10 m时，花圃的面积最大，最大面积为50 m2.

上述问题，引发我们思考如何求二次函数的最大值或最小值的问题.通常可将二次函数的关系式配方，化一般式为顶点式来解决. 三、实践应用

例1 求出下列函数的最大值或最小值.

(1)yx23x2； (2) y2x3x2； (3) y2x223x1； (4) y10013x2. 解 (1)yx23x2

99[(x23x)]2

4439[(x)2]2

2431(x)2

24因为这个函数的图象开口向上，所以 y最小值=(2) y2x3x2；

1 ； 43x22x

3(x22x) 32113[(x2x)]

399113[(x)2]

39113(x)2

331因为这个函数的图象开口向下，所以 y最大值=；

3 2 / 4

(3) y2x223x1 2(x23x)1

332[(x23x)]1

442[(x323)]1 24321) 221 ； 22(x因为这个函数的图象开口向上，所以 y最小值=(4) y10013x2 x210013

因为这个函数的图象开口向下，所以 y最大值=10013. 例2 求二次函数的顶点坐标，并求其最大值或最小值. 解 yax2bxc

a(x2bx)c

bb2b2a[(xx)]c

a4a4a2b2b2a[(x)]c

22a4ab2b2a[(x)]c

22a4ab2b2a(x)c

2a4ab24acb2 a(x)2a4a4acbb所以顶点坐标是（，）

2a4a2 3 / 4

4acb2当a＞0时，函数的图象开口向上，所以 y最小值=

4a4acb2当a＜0时，函数的图象开口向下，所以 y最大值= .

4a 例2的结果也可作为求二次函数最大值或最小值的公式. 四、交流反思

1. 求二次函数的最大值或最小值，可用配方法将其函数关系式化为顶点式，再根据其图象的开口方向确定最大值或最小值. 2. 求二次函数的最大值或最小值也可用例2的结果. 五、检测反馈

1.求出下列函数的最大值或最小值.

(1)yx23x4； (2) y12xx2；

3； (4) y100x2； 23(5) y6x212x； (6) yx24x1.

2(3) y7x227x2.有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

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