2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2）
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A { 1,2,3 }, B {2,3,4} ，则 A
A.
B （ A ）
C. C. 3 i
C ）
1，2，3,4
B.
1，2，3 2，3，4
D. D. 3 3i
1，3，4
2. (1 i )(2 i) （ B ）
A. 1 i
3. 函数 f (x) sin(2 x
B. 1 3i
) 的最小正周期为（
3
B.2
A.4 C. D.
2
4. 设非零向量 a ， b 满足 a+b = a-b 则（ A ）
A.
a ⊥ b
2
B.
a = b
C.
a ∥ b
D.
a b
5. 若 a 1，则双曲线 x
2
2
y 1
的离心率的取值范围是（
C ）
D.（1，2）
a
A. （ 2，+ ） B.（ 2，2） C.（1，2） 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体
的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则 该几何体的体积为（ B ） A. 90 B. 63 C. 42 D. 36
2 x+3 y 3 0
7. 设 x, y 满足约束条件
2x 3y 3 0 。则 z 2x y 的最小值 y 3 0
是（ A ） A. -15
2
B.-9 C. 1
D ） 8. 函数
D 9
f (x) ln( x 2x 8)
的单调递增区间是（
A.(- ,-2) B. (- ,-1) C.(1, + ) D. (4, + )
9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有
位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩， 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ D ）
A. 乙可以知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩
B. 丁可能知道两人的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
2
----
****
4. 执行右面的程序框图， 如果输入的 a 1，则输出的 S=（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机
抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的 概率为（ D ）
A. 1
1
B.
3
C.
2
D.
10
5
10
5
3 的直线交 C 于点
l ，
D. 3 3
2
6. 过抛物线 C : y
4x 的焦点 F ，且斜率为
C ）
C. 2 3
M （ M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在l 上且 MN
则 M 到直线 NF 的距离为（ A. 5
B. 2 2
二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 7. 函数 f (x) 2cos x sin x 的最大值为
8. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (
则 f (2) 12 9. 长方体的长、宽、高分别为
5
.
3
2
,0) 时， f (x)
2x x ，
3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
14
10.
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 2b cos B a cosC ccos A ，则 B
3
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 11.（12 分）已知等差数列
{an} 的前 n 项和为 Sn ，等比数列 {bn} 的前 nTn ,a1 项和为 1，
b1 1， a2 b2 2.
（1）若 a3 b3 5 ，求 {bn} 的通项公式； （2）若 T3 21，求 S3 .
解： 设 错误！未找到引用源。
n 1
的公差为 d ， 错误！未找到引用源。 的公比为 q ，则
a
n
1 (n 1)d ,b
n
q .由a2 b2
d q 3. ①
2
2得
（1）由 a3
b3 5
得
d
2d q
3,
q 0
2
联立①和②解得
6 ② d 1, q 2.
因此
的通项公式
n
b
n 1
2
（舍去），
（2）由 b1
得 当 q
当 q
1, T3 21
20 0 q
.解得 q
q 5,q 4
5时，由①得 d 8，则 S3
21. 6 .
4时，由①得 d
1，则 S3
12.(12 分)如图， 四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边 三角形且垂直于底面 ABCD ，
1 2AD ，
----
AB BC
****
BAD
ABC 90 。
（1） 证明：直线BC / / 平面 PAD ；
（2） 若 PCD 的面积为 2
7 ，求四棱锥P ABCD 的体积。
BAD
ABC
90 ，所以 BC / / AD .又 BC
平面
解：（ 1）在平面 ABCD 内，因为
PAD , AD 平面 PAD ，故 BC / / 平面 PAD （2）取 AD 的中点 M ，连结PM ,CM .
由
1
AB BC
AD 及 BC / / AD ， ABC
90
2
得四边形 ABCM 为正方形，则CM AD . 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 平面 PAD 平面 ABCD AD ， 所以 PM AD , PM 底面 ABCD .
因为 CM
设BC 连结PN ，则PN
底面 ABCD ，所以 PM
CM .
x ，则CM x, CD
2x, PM
14
x 2
1 2
PN
3x, PC PD 2 x.取 CD 的中点 N ，
CD ，所以
因为
PCD 的面积为 2 7 ，所以 2（舍去）， x 2 .
14 2x
2
x 2 7 ，
解得 x
于是 AB
BC 2, AD 4, PM
2 3 .
所以四棱锥P ABCD 的体积
1 2(2 4) V 2 3 4 3 3 2
kg）, 其频率分布直方图如下：
13.（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随 抽机14.取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单 ：位
（1）记A 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有 ：关
箱产量＜50kg 箱产量 ≥ 50kg
旧养殖法
新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行。 较
附：
2
p(k ≥ k)
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
k
----
****
K
2
n( ad bc)
2
(a b)(c d)(a c)(b d)
50 kg 的频率为
解：（1）旧养殖法的箱产量低于
(0.012 0.014 0.024 0.034 0.040) 5 0.62
因此，事件 A 的概率估计值为 0.62
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列 表联
箱产量＜50kg
旧养殖法 新养殖法
箱产量 ≥ 50kg
38 66
2
62 34
K
2
200（62 66 34 38）
≈ 100 100 96 104
15.705
由于 15.705＞ 6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值
(或中位数 )在 50kg 到
55kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 45kg 到 50kg 之间，且新养殖法的箱 产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高， 因此， 可以认为新养殖法的箱产量 较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法 .
2
2 1 x 8.（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C ：
上，过 M 做 x轴的垂线，垂 2 y 足为 N ，点 P 满足 NP
2NM .
3
（1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x
的左焦点 F .
上，且 OP
PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C
(x x , y), NM (0, y )
0
0
解：（1）设 P( x, y) ， M (x ,y ) ，则N( x ,0), NP
0
0
0
由 NP
2NM 得
2
2
x, y
0
x
0
y 因为 2
M (x , y ) 在 C 上，所以 0 0
2
x 2
y
2
2
2 1因此点 P 的轨迹方程为 x
y
2
（2）由题意知 F ( 1,0) 设 Q( 3,t ), P(m, n) ，则
OQ ( 3,t), PF ( 1 m, n), OQ PF 3 3m tn， 2 2
OP (m,n), PQ ( 3 m,t n) 由 OQ PQ 1得 3m m tn n 1
又由（ 1）知
2
2
2
，故 3 3m tn
m n 0所以 OQ PF 0，即 OQ
PF .
又过点 P 存在唯一直线垂直于 （21）（ 12 分） 设函数
（1）讨论f (x) 的单调性； （2）当 x 0 时， f ( x) 解：（1）
2
OQ ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .
2
x
f (x) (1 x )e .
ax 1 ，求 a
x
的取值范.
围
1
2, x 2, 1 2, 1
1 2)
2
时， f (x) 0 ；
f (x) (1 2x x )e 令 f (x) 0 得 x
当 x 当 x
( , 1
, 1 2,
2)时， f (x) 0 ；当 x ( 1 ) 时， f (x) 0 .
2,
)单调递减，在 ( 1
( 1
所以 f (x) 在 (
----
2),( 1 2) 单调递增.
****
x
（2） f ( x)
当 a 1
(1 x)(1 x)e
x
x
时，设函数
h( x) (1 x)e ,h (x) xe
0(x 0) ，因此 h( x) 在 [0,
) 单
----
****
调递减，而 h(0) 1，故 h(x) 1，所以 f (x) (x 1)h( x) x 1 ax 1
x
x
当 0 a 1 时 ， 设 函 数 g(x) e x 1,g (x) e 1 0(x 0) ， 所 以 g( x) 在
x
[0,
取
) 单调递增，而 g (0) 0，故 e
当 0
x 1
2
x 1时，
f (x) (1 x)(1 x)
x0
，
(1
2
2 2
x)(1 x) ax 1 x(1 a x x ），
5 4a 1
0
x
2
，则
(0,1),(1 x0)(1 x0 ) 5 1
ax0 1 0 ，故 f (x0) ax0 1
2
当 a 0 时，取
x0 (0,1), f (x0 ) (1 x0 )(1 x0 ) 1 ax0 1
x
0
，则
2
综上， a的取值范围是 [1,
) .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
15.[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1
x 轴
C1 的极坐标方程为 cos 4 ．
（1）M 为曲线 C 上的动点， 点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM | | OP|
轨迹 C 的直角坐标方程；
2
16,求点 P 的
（2）设点 A的极坐标为
(2, )
，点 B 在曲线 C 上，求 OAB 面积的最大值． 2
3 解：（1）设 P 的极坐标为 ( , )( 0) ， M 的极坐标为 ( , )(
1
1
0) .
由 题 设 知
4
,| OM
1
| | OP
|
由 |OM | |OP | 16 得 C2
的 极 坐 标 方 程
cos
4cos (
C 的直角坐标方程为 0) 因此
2
B
2 2
( x 2) y
B
4(x 0)
（2）设点 B 的极坐标为 (
, )(
1
B
0) .由题设知 |OA | 2,
sin AOB
B
4cos a ，
) | 3
于是 OAB 面积
S |OA | 2
4cos a | sin( a
2 | sin(2a ) 3
a
当
时， S取得最大值
3 | 2 2
3 .
3
2 3 所以 OAB 面积的最大值为 2
3
3
12
a 0,b 0,a
（1）
b
5
2，证明： 23.[选修 4-5：不等式选讲 ]（10 分）已知 b ) 4；
5
5
6
5
5
6
5
(a b)(a
（2） a b 2．
解：（1）
2
2 2
(a b)(a
4
3
2
b ) a ab a b b
(a b )
3 3 2 3 3 4 4
2a b
2
ab(a b )
4 ab(a
（2）因为
----
b )
3
2 3
(a b) a 3a b 3ab b
3(a b)
2 3ab (a b) 2 (a b)
****
4
2 3(a b)
4
3
所以 (a
3
b) 8，因此 a b 2 .
----
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