二次函数
一、选择题
1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（ ） A．2xy+x2=1
B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0
2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ） A．y=x2 B．y=
C．y=
D．y=
3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ） A．4
B．8
C．﹣4 D．16
4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（ ） A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴
5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（ A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0
7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值X围是（ ）
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） 高考
A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣1
8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（ ） A．一定有两个交点 B．只有一个交点 C．有两个或一个交点 D．没有交点
9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=m的值为（ ） A．3
B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对
，则
10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（ ） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3） 二、填空题
11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 ______，对称轴是 ______，顶点是 ______． 12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．
14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______． 15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是______． 16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．
17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值X围是______．
18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______．
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高考
19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______． 20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______． 三、解答题
21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．
23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）请判断实数a的取值X围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．
24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述： ①它的对称轴为x=2； ②它与x轴有两个交点为A、B；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）． 求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值X围．
25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：
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高考
（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）
26．已知OABC是一X放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，
（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；
（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G． ①求折痕AF所在直线的解析式； ②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线直线AF的公共点的个数．
（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．
过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与
《第22章 二次函数》
参考答案
一、选择题
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高考
1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（ ） A．2xy+x2=1
B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0
的形式，不符合一元二次方程的一般形
【解答】解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为y=式，故本选项错误；
B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误； C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误． 故选C．
2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ） A．y=x2 B．y=
C．y=
D．y=
【解答】解：作出BC边上的高AD． ∵△ABC是等边三角形，边长为x， ∴CD=x， ∴高为h=∴y=x×h=故选：D．
x， x2．
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高考
3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ） A．4
B．8
C．﹣4 D．16
=0，
【解答】解：根据题意，得解得c=16． 故选D．
4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（ ） A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴 【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0， 则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x=故选A．
5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
=0．
A． B． C．
D．
【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；
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高考
B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣
＜0，错误；
C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣
＜0，正确．
D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误； 故选C．
6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（ ） A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0 【解答】解：根据顶点坐标公式，得 横坐标为：纵坐标为：故选B．
7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值X围是（ ） A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣1 【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1， a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
故只有选项C，D这两个X围符合要求，又因为C选项X围包括选项D的X围， 故选：C．
=﹣1，解得m=﹣2； =﹣3，解得n=﹣4．
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高考
8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（ ） A．一定有两个交点 B．只有一个交点 C．有两个或一个交点 D．没有交点 【解答】解：根据题意，得
△=b2﹣4ac=＜﹣（m+2）＞2﹣4×1×3（m﹣1）=（m﹣4）2 （1）当m=4时，△=0，即与x轴有一个交点； （2）当m≠4时，△＞0，即与x轴有两个交点； 所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．
9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=m的值为（ ） A．3
B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对
， ，则
【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=解得：m=±3， 故选：C．
10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（ ） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3） 【解答】解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x， ∵对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，
﹣2×（﹣）=
，
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高考
∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0， ∴x=1，y=3，
即这个固定的点的坐标为（1，3）． 故选D． 二、填空题
11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 上 ，对称轴是 x=1 ，顶点是 （1，6） ． 【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6， ∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上， 顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1． 故答案为：上，x=1，（1，6）．
12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m= 2 ． 【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点， 代入（0，0）得：2m﹣m2=0， 解得：m=2，m=0； 又∵m≠0， ∴m=2． 故答案为：2．
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 y=2（x+1）2+3 ．
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高考
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是 ﹣ ． 【解答】解：当x=1时，y=ax2=a； 当x=2时，y=ax2=4a， 所以a﹣4a=4，解得a=﹣． 故答案为：﹣．
15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是 10 ． 【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+n， ∵函数的最小值是1， ∴﹣9+n=1， n=10． 故答案为：10．
16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是 4 ． 【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0）， ∵x1+x2=2，x1•x2=﹣3， ∴|x1﹣x2|=
=
=4，
∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．
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高考
故答案为：4．
17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是 S=﹣x2+3x ，自变量x的取值X围是 0＜x＜3 ． 【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x． 自变量x的取值X围是：0＜x＜3． 故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．
18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是 5
．
【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）； 设B（b，0），C（c，0）． 令y=0，则x2﹣2x﹣5=0， 则b+c=2，bc=﹣5， 则|b﹣c|=
则△ABC的面积是×5×故答案为5
19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为 y=﹣
x2﹣
x+
．
．
==5
=2．
，
【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入
得，
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高考
解得．
所以此抛物线的解析式为y=﹣故答案为：y=﹣
x2﹣
x+
x2﹣．
x+，
20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是 y=﹣x2+3 ．
【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）， 则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=9a+3， 解得：a=﹣，
即抛物线解析式为：y=﹣x2+3． 故答案为：y=﹣x2+3．
三、解答题
21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
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高考
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值． 【解答】解：将y=2x2+4x+1 整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．
因为抛物线y=ax2+bx+c 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，
所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c， 故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）﹣1+1=2（x﹣1）=2x2﹣4x+2， 所以a=2，b=﹣4，c=2．
23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）请判断实数a的取值X围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．
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高考
【解答】解：（1）由图象可知：a＜0 图象过点（0，1），
所以c=1，图象过点（1，0）， 则a+b+1=0
当x=﹣1时，应有y＞0，则a﹣b+1＞0 将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0， 解得a＞﹣1
所以，实数a的取值X围为﹣1＜a＜0；
（2）此时函数y=ax2﹣（a+1）x+1， M点纵坐标为：
=
，
图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a+1）x+1=0， 解得；x 1=1，x 2=， 则AC=1﹣=要使S△AMC=×可求得a=
24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：
． ，
×
=
=S△ABC=•
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高考
①它的对称轴为x=2； ②它与x轴有两个交点为A、B；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）． 求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值X围． 【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+∴﹣=2，则b=﹣4， ∴P点的纵坐标是
=c﹣4，
，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，
又∵它与x轴有两个交点为A、B， ∴△=b2﹣4ac=16﹣4c＞0，且AB=解得 c＜4，①
又△APB的面积不小于27， ∴×2
×|c﹣16|≥27，即
×|c﹣16|≥27②
=
=2
由①②解得 c≤﹣5．
综上所述，b的值是﹣4，c的取值X围是c≤﹣5．
25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值： （l）0＜a＜
；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）
=﹣，
＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2+a×（﹣）
【解答】解：对称轴x=﹣（1）当0＜a＜+3=3，
时，即﹣
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高考
（2）当a＞2.3．即﹣＜﹣1.1，在﹣1≤x≤1X围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2+a×（﹣1）+3=4﹣a．
26．已知OABC是一X放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，
（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；
（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G． ①求折痕AF所在直线的解析式； ②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线直线AF的公共点的个数．
（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．
过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与
【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形， ∴OD=OC=6，
∴D（6，0），C（0，6）， 设直线CD的解析式为y=kx+b，
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高考
则，解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10， 故BG=
=8，∴CG=2，
设OF=m，则FG=m，CF=6﹣m，
在直角△CFG中，m2=（6﹣m）2+22，解得m=则F（0，
），
，将A（10，0）代入，得k′=﹣，
．
，
设直线AF为y=k′x+
∴AF所在直线的解析式为：y=﹣x+
②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，yF）， 由于H在直线AF上，
∴把H（2，yF）代入直线AF：yF=﹣×2+∴H（2，），
又∵H在抛物线上， =﹣∴抛物线的解析式为y=﹣将直线y=﹣x+得﹣∵△=
×22+h，解得h=3， x2+3，
x2+3， =，
，代入到抛物线y=﹣
x2+x﹣=0，
﹣4×（﹣
）×（﹣）=0，
∴直线AF与抛物线只有一个公共点． （3）可以猜想以下两个结论： ①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣
x2+3只有一个公共点；
x2+3上．
②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=﹣
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高考
验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D， 将折痕CD：y=﹣x+6代入y=﹣∵△=1﹣4×（﹣
x2+3中，得﹣
x2+x﹣3=0，
）×（﹣3）=0，
x2+3只有一个公共点．
∴折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣
验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0）， 当x=6时，y=﹣
×62+3=0，
∴点L在这条抛物线上．
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