第9章《多边形》常考题集（12）：9.2 多边形的
内角和与外角和
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第9章《多边形》常考题集（12）：9.2 多边形的
内角和与外角和
选择题
31．若一个多边形的边数增加2倍，它的外角和（ ） A．扩大2倍 B． 缩小2倍 C． 保持不变 D． 无法确定 32．（2001•山东）如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是（ ） A．正十边形 B． 正九边形 C． 正八边形 D． 正七边形 33．下面说法正确的是（ ） A．一个三角形中，至多只能有一个锐角 一个四边形中，至少有一个锐角 B． 一个四边形中，四个内角可能全是锐角 C． D．一个四边形中，不能全是钝角 34．一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ） A．七边形 B． 八边形 C． 九边形 D． 十边形 35．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（ ）条． 7 8 9 10 A．B． C． D． 36．一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为257°，则这一内角等于（ ） 90° 105° 103° 120° A．B． C． D． 37．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（ ） 6 7 8 9 A．B． C． D． 38．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ） 17 16 15 A．B． C． D． 16或15或17 填空题 39．（2003•吉林）如图，∠1+∠2+∠3+∠4= _________ 度．
40．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 _________ ．
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41．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成 _________ 个三角形． 43．（2010•青海）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n= _________ ． 44．（2009•三明）一个n边形的内角和等于720°，那么这个多边形的边数n= _________ ． 45．（2009•泉州）八边形的内角和等于 _________ 度． 46．（2008•永春县）四边形的内角和等于 _________ 度． 47．（2008•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 _________ ． 48．（2008•龙岩）一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 _________ 边形． 49．（2008•衡阳）六边形的内角和等于 _________ 度． 50．（2007•南通）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 _________ 度． 51．（2007•贵阳）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _________ m．
52．（2006•无锡）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 _________ ． 53．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= _________ 度．
54．（2006•吉林）把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α= _________ 度．
55．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 _________ 米．
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56．（2006•长沙）正五边形的一个内角的度数是 _________ 度． 57．（2005•湘潭）有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是 _________ 边形． 58．（2005•宁德）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是 _________ ． 59．（2004•贵阳）正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n= _________ ．
60．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 _________ 边形．
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第9章《多边形》常考题集（12）：9.2 多边形的
内角和与外角和
参考答案与试题解析
选择题
31．若一个多边形的边数增加2倍，它的外角和（ ） A．扩大2倍 B． 缩小2倍 C． 保持不变 考点： 多边形内角与外角． 分析： 所有凸多边形的外角和是360度，这个数值与边数的大小无关． 解答： 解：若一个多边形的边数增加2倍，它的外角和是360°，保持不变． 故选C． 点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理，对这个定理的正确理解是关键． 32．（2001•山东）如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是（ ） A．正十边形 B． 正九边形 C． 正八边形 D． 无法确定 D． 正七边形 考点： 多边形内角与外角． 分析： 正多边形的每个角都相等，同样每个外角也相等，一个内角是144°，则外角是180﹣144=36°．又已知多边形的外角和是360度，由此即可求出答案． 解答： 解：360÷（180﹣144）=10，则这个多边形是正十边形． 故选A． 点评： 本题主要利用了多边形的外角和是360°这一定理． 33．下面说法正确的是（ ） A．一个三角形中，至多只能有一个锐角 一个四边形中，至少有一个锐角 B． 一个四边形中，四个内角可能全是锐角 C． D．一个四边形中，不能全是钝角 考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理． 专题： 计算题． 分析： 根据多边形的内角和定理分别可以判定那个正确． 解答： 解：A、不对，例如：90，45，45； B、不对，例如：90，90，90，90； C、不对，四个角都是锐角那么不能满足内角和360°； D、正确． 故本题选D． 点评： 此题考查了三角形，四边形内角与外角的性质． 34．一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ） A．七边形 B． 八边形 C． 九边形 D． 十边形 考点： 多边形内角与外角． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 分析： 已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数． 解答： 解：多边形的边数是：n=360°÷（180°﹣135°）=8． 故选B． 点评： 通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法． 35．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（ ）条． 7 8 9 10 A．B． C． D． 考点： 多边形内角与外角；多边形的对角线． 专题： 计算题． 分析： 多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有n﹣3条，即可求得对角线的条数． 解答： 解：∵多边形的每一个内角都等于150°， ∴每个外角是30°， ∴多边形边数是360°÷30°=12， 则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3=9条． 故选C． 点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有n﹣3条． 36．一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为257°，则这一内角等于（ ） 90° 105° 103° 120° A．B． C． D． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 设这个多边形是n边形，则内角和是（n﹣2）•180°，这个度数与257°的差一定小于180°并且大于0，则可以解方程：（n﹣2）•180°=257°，多边形的边数n一定是大于x的最小的整数，这样就可以求出多边形的边数，从而求出内角和，得到这一内角的度数． 解答： 解：根据题意，得 （n﹣2）•180°=257， 得n=， 则多边形的边数是4， 因为四边形的内角和是360度，所以这一内角等于360°﹣257°=103°． 故选C． 点评： 本题解决的关键是正确求出多边形的边数． 37．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（ ） 6 7 8 9 A．B． C． D． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为（n﹣2）×180．设这个外角度数为x度，利用方程即可求出答案． 解答： 解：设这个外角度数为x°，根据题意，得 （n﹣2）×180+x=1350， 180n﹣360+x=1350， x=1350+360﹣180n，即x=1710﹣180n， ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 由于0＜x＜180，即0＜1710﹣180n＜180， 可变为： 解得8.5＜n＜9.5， 所以n=9． 故选D． 点评： 主要考查了多边形的内角和定理． n边形的内角和为：180°•（n﹣2）． 38．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ） 17 16 15 A．B． C． D． 16或15或17 考点： 多边形内角与外角． 分析： 因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 解答： 解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据（n﹣2）•180°=2520°解得：n=16， 则多边形的边数是15，16，17． 故选D． 点评： 本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法． 填空题 39．（2003•吉林）如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 280 度．
考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角． 分析： 运用了三角形的内角和定理计算． 解答： 解：∵∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠3+∠4=180°﹣40°=140°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°． 故答案为：280°． 点评： 此题主要是运用了三角形的内角和定理． 40．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n（n+1） ．
考点： 多边形． 专题： 规律型． 分析： ①边数是12=3×4，②边数是20=4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 解答： 解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4， ②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5， ③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6， ④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7， ∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）． 点评： 首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）． 41．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成 5 个三角形． 考点： 多边形的对角线． 分析： 根据七边形的概念和特性即可解．从简单图形说起：从四边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（4﹣2）=2个三角形． 解答： 解：根据以上规律，从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（7﹣2）=5个三角形． 故答案为5． 点评： 本题考查的知识点为：过n边形一个顶点作对角线，最多可把n边形分成（n﹣2）个三角形． 43．（2010•青海）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n= 6 ． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 任何多边形的外角和是360度，内角和等于外角和的2倍则内角和是720度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 解答： 解：根据题意，得 （n﹣2）•180=720， 解得：n=6． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 44．（2009•三明）一个n边形的内角和等于720°，那么这个多边形的边数n= 6 ． 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 解答： 解：由题意可得：（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6． 所以，多边形的边数为6． 点评： 此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解． 45．（2009•泉州）八边形的内角和等于 1080 度． 考点： 多边形内角与外角． 分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 解答： 解：（8﹣2）•180°=1080°． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 46．（2008•永春县）四边形的内角和等于 360 度． 考点： 多边形内角与外角． 分析： n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 解答： 解：（4﹣2）•180°=360°． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容． 47．（2008•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 解答： 解：设多边形的边数为n，根据题意，得 （n﹣2）•180=3×360， 解得n=8． 则这个多边形的边数是8． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 48．（2008•龙岩）一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 四 边形． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 解答： 解：根据题意，得 （n﹣2）•180=360， 解得n=4，则它是四边形． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 49．（2008•衡阳）六边形的内角和等于 720 度． 考点： 多边形内角与外角． 分析： n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 解答： 解：（6﹣2）•180=720度，则六边形的内角和等于720度． 点评： 解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 50．（2007•南通）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 1800 度． 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： 根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 解答： 解：多边形的边数：360°÷30°=12， 正多边形的内角和：（12﹣2）•180°=1800°． 点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 51．（2007•贵阳）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 240 m．
考点： 多边形内角与外角． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 专题： 应用题． 分析： 根据多边形的外角和定理即可求出答案． 解答： 解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为360÷15=24， 则一共走了24×10=240米． 故答案为：240． 点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360度除以一个外角度数即可． 52．（2006•无锡）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 9 ． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 解答： 解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 点评： 根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 53．（2006•临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36 度．
考点： 多边形内角与外角． 分析： 利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 解答： 解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC=∠BCA=36度． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． n边形的内角和为：180°（n﹣2）． 54．（2006•吉林）把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α= 165 度．
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或者根据四边形的内角和等于360°得出． 解答： 解：本题有多种解法． 解法一：∠α为下边小三角形外角，∠α=30°+135°=165°； 解法二：利用四边形内角和，∠α等于它的对顶角，故∠α=360°﹣90°﹣60°﹣45°=165°． 点评： 本题通过三角板拼装来求角的度数，考查学生灵活运用知识能力． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 55．（2006•镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 120 米．
考点： 多边形内角与外角． 专题： 应用题． 分析： 根据多边形的外角和即可求出答案． 解答： 解：∵360÷30=12， ∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米． 点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°． 56．（2006•长沙）正五边形的一个内角的度数是 108 度． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数． 解答： 解：（5﹣2）•180=540°，540÷5=108°，所以正五边形的一个内角的度数是108度． 点评： 本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案． 57．（2005•湘潭）有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是 12 边形． 考点： 多边形内角与外角． 分析： 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n． 解答： 解：根据题意，得 （n﹣2）•180=5×360， 解得：n=12． 所以此多边形的边数为12． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决． 58．（2005•宁德）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是 8 ． 考点： 多边形内角与外角． 分析： n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 解答： 解：根据题意，得 （n﹣2）•180=1080， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． ©2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 59．（2004•贵阳）正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n= 8 ． 考点： 多边形内角与外角． 分析： n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 解答： 解：设这个多边形是n边形，由题意知， （n﹣2）×180°=1080°， ∴n=8． 故该多边形的边数为8． 点评： 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 60．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 12 边形． 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： 根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可． 解答： 解：由题意可得：180°•（n﹣2）=150°•n， 解得n=12． 故多边形是12边形． 点评： 主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得． ©2010-2013 菁优网
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参与本试卷答题和审题的老师有：hnaylzhyk；zhjh；feng；lanchong；开心；心若在；zzz；蓝月梦；HJJ；kuaile；HLing；CJX（排名不分先后） 菁优网
2013年6月1日
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