5、2012年北京二模综合练习(教师版)

石景山

8．已知正方形纸片的边长为18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边（棱）长是（ ） A．6 B．32

C．

9 D．23 2 第8题图

8Ｂ

12．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从

一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续

跳（3n-2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳31-21步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳32-24步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳

12到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ． 111

12．10；6．

32456710898．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面,形成如图几何体，其正确展开图为( ) .

第12题图

A B C D

8 B

8．图1是一个正方体，把它按图2中所示方法切割，可以得到一个正六边形的截面,则下列展开图中正确画出所有切割线的是

图1图2 A. B. C. D.

ABCD

一、 C

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB 上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于 点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示

y关于x的函数关系的图象大致是

8 C

延庆 8．如图：等边△ABC中，边长AB=3，点D在线段BC上，点E 在射线AC上，点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度 向终点C运动，点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度 运动,当D点停止时E点也停止运动，设运动时间为t秒，若 D、E、C三点围成的图形的面积用y来表示，则y与t的图象是 yAEBD yCy4y44 42222O123x5O11023x5O123x105O123x510102222

A B C D

8C

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数y1 x（x > 0）图象上的一个动点，点A在x轴上，且PO=PA， AB是△PAO中OP边上的高．设OAm，ABn，则 下列图象中，能表示n与m的函数关系的图象大致是

8 A

nOmA B C D

海淀

8．如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=60°，AB= DC=2, AD=1， R、P分别是BC、CD边上的动点（点R、B不重合, 点P、C不 重合），E、F分别是AP、RP 的中点，设BR=x，EF=y，则下列 B 图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A B C D 8. C

y 1 O 1 2 3 x y 1 O 1 2 3 x y 1 O 1 2 3 x y 1 O 1 2 3 x R A D E F P C

海淀区

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度 (0 < <360) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120

ADADFF的旋转对称图形. 如图1，点O是等边三角形△ABC的中心, D、E、F分别为AB、BC、 CA的中点, 请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

图1 图2

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC中, E1、E2、E3分别为AB、 BC、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为 AB、BC、CA的三等分点.

（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为 ． 22.解：（1）画图如下：

(答案不唯一)

…………………………………2分

图3

（2）图3中△FGH的面积为

a. …………………………………4分 7延庆县

22. （本题满分4分）阅读下面材料：

阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

ABCA'BAC

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△ABC,连接A'A,当点A落在AC上时,此

’

'题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）

22. （本题满分4分）

解：（1）AP的最大值是：6„„„„„„„„„„„„..2分

（2）AP+BP+CP的最小值是：2226（或不化简为32163）„„„„4分

APB图3C房山区

22．⑴阅读下面材料并完成问题：

已知：直线AD与△ABC的边BC交于点D，

①如图1，当BD=DC时，则S△ABD________S△ADC．(填“=”或“＜”或“＞”)

AABDC

BDC

AD

图1 图2 图3

1②如图2，当BD=DC时，则SABD SADC ．

2③如图3，若AD∥BC,则有SABC SDBC ．(填“=”或“＜”或“＞”) ⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：

过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）

BCDAB22．①=--------------------------------------1分

1②--------------------------------------2分2 ③=--------------------------------------3分 ⑵

C

DADAFEBFC

DE∥AC交BC延长线于点E E为AC三等分点

EBGC

F为BE三等分点 过E作FG∥BD交DC于点E，BC于G

则直线AF为所求 则直线DG为所求 --------------------------------------5分 延庆县

24. （1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，

请直接写出结果 ；

（2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系

并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=（20°≤≤70°）时，直接写

出AB与BD+CD数量关系(用含的式子表示)。

BB

D

CC

图2图1 B

24. （1）AB=BD+CD„„„„„„„„„„„„„„„„C1分 （2）猜想： 2AB=BD+CD„„„„„„„„2分 图3 证明：如图，过A点作AE⊥AC交CD延长线于E点， 作AF⊥AB交BD延长线于F点，连接EF。„„„„3分 容易证出：△ABC≌△AEF„„„„„„4分 ∴∠ABC=∠AEF,BC=EF

容易证出：△DBC≌△DEF„„„„„„5分 B ∴CD=DF

在等腰Rt△ABF中，结论可以得出。

C

(3)ABCOSAADADAEDFBDCD（或变形）„„„„„„„„7分 2

西城区

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA

运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒

且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的 时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

(1)当t = 5秒时，点P走过的路径长为 ；当t = 秒时，点P与点E重合；

4个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，3 (2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF

上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；

(3)当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点

P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．

24．解:(1) 当t =5秒时，点P走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P与点E重合．

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分

(2) 如图9，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为

点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E旋转的旋转角，记为α．

设AP=3t （0< t <2），则CP=63t，CE∵ EF∥AC，∠C=90°，

∴ ∠BEF=90°，∠CPE =∠PEF=α． ∵ EN⊥AB， ∴ ∠B=∠MEN=α．

∴ CPEB．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ tanCPEPαααCElMAα4t． 3FNB图9 CEAC3，tanB， CPBC4∴ CPCE． ∴ 63t4344t．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 3354．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 43630(3) t的值为（秒）或（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分

57解得t海淀区

25. 在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中 点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.

（1）如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系

及

CE的值, 并证明你的结论; BM （2）如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否

成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请

直接写出你的结论.

B C

E

B M

N N

D

F

A

D

F

C

E

B M A N

A( M)

E C

D F

图1 图2 图3

225. 解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；CE=.

2BM证明：如图，过点E作EG⊥AF于G, 则∠EGN=90°．

∵ 矩形ABCD中, AB=BC， ∴ 矩形ABCD为正方形.

∴ AB =AD =CD, ∠A=∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD, ∠EGN =∠A, ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E为CF的中点，EG//CD,

11∴ GF=DG =DFCD.

221∴ GECD.

2B2CE∵ N为MD(AD)的中点， ∴ AN=ND=

11ADCD. 22A(M)3N1DGF∴ GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. ……………………………2分

∴ △NGE≌△BAN． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.

∴ BN⊥NE． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD=DF, 可得 ∠F =∠FCD =45°，

CF=CD2. .

1CFCECECE22====. ……………………………………4分 于是BMBACDCD2（2）在（1）中得到的两个结论均成立.

证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，

交CD于点H．

CB∵ 四边形ABCD是矩形，

E∴ AB∥CG．

M∴ ∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN. HN∵ N为MD的中点，

FAD∴ MN=DN．

∴ △BMN≌△GDN．

G∴ MB=DG，BN=GN. ∵ BN=NE，

∴ BN=NE=GN. ∴ ∠BEG=90°． …………………5分 ∵ EH⊥CE， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG=∠CEH． ∴ ∠BEC=∠GEH． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE=∠HCE =45°． ∴ EC=EH, ∠EHG =135°．

∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG． ∴ △ECB≌△EHG． ∴ EB=EG，CB=HG． ∵ BN=NG，

∴ BN⊥NE. ……………………………………………6分

∵ BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-HD =CH=2CE， ∴

2CE=. ……………………………………………7分 2BM2CE不一定等于.

2BM （3）BN⊥NE；

………………………………………………8分

朝阳区

24. 如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、

CF的中点.

F（1）求证：△DMN是等边三角形；

（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. N求证：DP＝DQ.

ME同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面

C两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 ADB三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要

证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置. 24. 证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG＝

1BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形. 2FNC32∴NG = NC，DG = CM. „„„„„„„2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.

∴△NGD≌△NCM . „„„„„„„„3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. ∴∠DNM =∠GNC = 60º.

∴△DMN是等边三角形. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）连接QN、PM.

∴QN =

AGME1DB1CE= PM. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 2FN78Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5. ∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.

∴∠QND= ∠PMD. „„„„„„„„„6分 ∴△QND≌△PMD.

QP564ECADMB∴DQ= DP. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

石景山区

24．在△ABC中，ABAC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点,且

∠BED2CEDBAC．

(1) 如图1,若∠BAC90,猜想DB与DC的数量关系为 ；

(2) 如图2,若∠BAC60，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠BAC，请直接写出DB与DC的数量关系. AA

E

E

BCD BCD

图1 图2

解：

24.解：（1）DB2DC

(2) DB2DC

证明：过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F, 在 AD上取点G使得CGCF ∴6F7

∵BED2CEDBAC60 ∴6F60,CED30 ∴51204

∵3171260 ∴32 ∵ABAC ∴△ABE≌△CAG ∴CGAE,BEAG ∵GCE6CED30 ∴CGEG

A1211∴CFCGAGBE

22BDBE由△DBE∽△DCF得2

DCFC∴DB2DC

(3) 结论：DB2DC.

E437856GBDF图(2)

C延庆县

24. （1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，

请直接写出结果 ；

（2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系

并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=（20°≤≤70°）时，直接写

出AB与BD+CD数量关系(用含的式子表示)。

A

B

C

图2 B

24. （1）AB=BD+CD„„„„„„„„„„„„„„„„C1分 （2）猜想： 2AB=BD+CD„„„„„„„„2分 图3 证明：如图，过A点作AE⊥AC交CD延长线于E点， 作AF⊥AB交BD延长线于F点，连接EF。„„„„3分 容易证出：△ABC≌△AEF„„„„„„4分 ∴∠ABC=∠AEF,BC=EF

容易证出：△DBC≌△DEF„„„„„„5分 B ∴CD=DF

在等腰Rt△ABF中，结论可以得出。

C

(3)ABCOS

ADADAEDFBDCD（或变形）„„„„„„„„7分 2海淀区

24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yB, 且对称轴与x轴交于点C.

（1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；

（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，

Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐 标.

22x2x与x轴负半轴交于点A, 顶点为m

备用图

24.解：（1）∵yA B A C O x C O x y y B 222121211x2x(x2mxm2)m2(xm)2m， mm4m4m2211 ∴抛物线的顶点B的坐标为(m,m). ……………………………1分

222（2）令x22x0，解得x10, x2m.

m2 ∵ 抛物线yx22x与x轴负半轴交于点A，

m ∴ A (m, 0), 且m<0. …………………………………………………2分

y 过点D作DFx轴于F.

1由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO=CO. B21∴ DF =BC.

2DEA由抛物线的对称性得 AC = OC. ∴ AF : AO=3 : 4. ∵ DF //EO,

∴ △AFD∽△AOE. ∴

FDAF. OEAOCFOx111 由E (0, 2)，B(m,m)，得OE=2, DF=m.

2241m3∴4.

24 ∴ m = -6.

1∴ 抛物线的解析式为yx22x. ………………………………………3分

3（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为yx,

直线BC为x3. 作点C关于直线BO的对称点C (0，3)，连接AC 交BO 于M，则M即为所求. 由A（-6，0），C (0, 3)，可得

BMyC'1直线AC的解析式为yx3.

2ACOx1x2,yx3,由 解得 2石景山区yxy2.∴ 点M的坐标为(-2, 2). ……………4分

y由点P在抛物线y13x22x上，设P (t，13t22t). BC' (ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.

M如右图，过M作MG x轴于G, A过PC1作P1H BC于H, GOx则xG= xM =-2, xH= xB =-3.

HP1由四边形AM P1Q1为平行四边形， 可证△AMG≌△P1Q1H . Q1可得P1H= AG=4. ∴ t -(-3)=4. y∴ t=1.

BC'∴P7M1(1,3). ……………………5分

如右图，同方法可得 P2H=AG=4. ACQGOx2∴ -3- t =4. ∴ t=-7.

P2H∴P7,72(3). ……………………6分

(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时, y如右图，过M作MHBC于H, 过P3作P3G x轴于G,

BC'则xH= xB =-3，xG=xPHM3P3=t. 由四边形APAQ3GCOx3MQ3为平行四边形， 可证△A P3G≌△MQ3H . 可得AG= MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t=-5. ∴P53(5,3). ……………………………………………………7分 综上，点P的坐标为P7751(1,3)、P2(7,3)、P3(5,3).

25．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线

y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFECFE，

若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－2

x＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围． 解：

yOx备用图 25.解：（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分

yx22x3x3x3（2）由得，

y2xy23y23∴B（3,23），C（3,23） B（3,23）关于抛物线对称轴x1的 对称点为B'(23,23)

可得直线B'C的解析式为y23x623， 由y23x623y1，可得x1

y6∴F(1,6) ………………………5分

（3）当M(2t,2t)在抛物线上时，可得4t2t30，t2当P(t,2t)在抛物线上时，可得t3，t3，

2113， 4舍去负值，所以t的取值范围是

113t3．………………8分 4