一、一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解方程:
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(1)(4x-1)2=225; (2)(x-2)2=8 (3)9x2-6x+1=9; (4)3(2x+1)2-2=0.
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2.用配方法解方程:
(1)2t2-3t=-1 (3)(2x-1)(3x-1)=3-6x;
(2)2x2+5x-1=0 (4)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
3.用公式法解方程:
(1)x2=6x+1; (2)0.2x2-0.1=0.4x; (3)2x-2=2x2.
4.用因式分解法解方程:
(1)(x-1)2-2(x-1)=0 (2)5x(x-3)=(x-3)(x+1); (3)(x+2)2-10(x+2)+25=0.
5.用适当的方法解方程:
(1)2(x-3)2=x2-9; (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8.
6.利用配方法证明:无论x取何实数值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求出它的最大值.
7.已知a2+b2+4a-2b+5=0,求3a2+5b2-5的值.
一、一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解方程: (1)(4x-1)2=225;
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解:x1=4,x2=-
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(2)(x-2)2=8; 3
解:x1=2+26,x2=2-26
(3)9x2-6x+1=9;
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解:x1=,x2=-
33
(4)3(2x+1)2-2=0.
1616解:x1=-+,x2=--
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2.用配方法解方程: (1)2t2-3t=-1;
1
解:t1=,t2=1
2
(2)2x2+5x-1=0;
-5+33-5-33
解:x1=,x2=
44
(3)(2x-1)(3x-1)=3-6x;
12
解:x1=,x2=-
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(4)(2x-1)2=x(3x+2)-7. 解:x1=4,x2=2
3.用公式法解方程: (1)x2=6x+1;
解:x1=3+10,x2=3-10
(2)0.2x2-0.1=0.4x;
2+62-6
解:x1=,x2=
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(3)2x-2=2x2.
解:原方程无实数根
4.用因式分解法解方程: (1)(x-1)2-2(x-1)=0; 解:x1=3,x2=1
(2)5x(x-3)=(x-3)(x+1);
1
解:x1=3,x2=
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(3)(x+2)2-10(x+2)+25=0. 解:x1=x2=3
5.用适当的方法解方程: (1)2(x-3)2=x2-9; 解:x1=3,x2=9
(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2;
-1+6-1-6解:x1=,x2=
22
(3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8. 解:x1=1,x2=-3
二、配方法的应用 (一)最大(小)值
6.利用配方法证明:无论x取何实数值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求出它的最大值.
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解:-x2-x-1=-(x+)2-,∵-(x+)2≤0,∴-(x+)2-<0,故结论成立.当
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13x=-时,-x2-x-1有最大值-
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7.对关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n. (1)求m,n的值;
(2)求x为何值时,x2+4x+9有最小值,并求出最小值为多少?
解:(1)∵x2+4x+9=(x+m)2+n=x2+2mx+m2+n,∴2m=4,m2+n=9,∴m=2,n=5
(2)∵m=2,n=5,∴x2+4x+9=(x+2)2+5,∴当x=-2时,有最小值是5
(二)非负数的和为0
8.已知a2+b2+4a-2b+5=0,求3a2+5b2-5的值. 解:∵a2+b2+4a-2b+5=0,∴(a2+4a+4)+(b2-2b+1)=0,即(a+2)2+(b-1)2=0,∴a=-2,b=1.∴3a2+5b2-4=3×(-2)2+5×12-5=12
9.若a,b,c是△ABC的三边长且满足a2-6a+b2-8b+c-5+25=0,请根据已知条件判断其形状.
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解:等式变形为a-6a+9+b-8b+16+c-5=0,即(a-3)+(b-4)+c-5=0,由非负性得(a-3)=0,(b-4)=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5.∵3+4=5,即a22
+b=c,∴△ABC为直角三角形
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