上海市各区2017-2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题

宝山区、嘉定区

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy（如图7），直线yxm的经过点A(4,0)和点B(n,3). （1）求m、n的值；

（2）如果抛物线yx2bxc经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sinABP的值；

（3）设点Q在直线yxm上，且在第一象限内，直线yxm与y轴的交点为点D，如果AQODOB，求点Q的坐标.

24.解：（1） ∵直线yxm的经过点A(4,0)

∴4m0……………………1分

∴m4………………………………1分

∵直线yxm的经过点B(n,3) ∴n43……………………1分

∴n1…………………………………………1分

（2）由可知点B的坐标为(1,3)

∵抛物线yx2bxc经过点A、B

y O x 图7

164bc0 ∴

1bc3∴b6， c8

22∴抛物线yxbxc的表达式为yx6x8…………………1分

2∴抛物线yx6x8的顶点坐标为P(3,1)……………1分

∴AB32,AP2,PB25

∴ABBPPB

∴PAB90……………………………………1分

222AP PB10∴sinABP …………………………………………1分

10（3）过点Q作QHx轴，垂足为点H，则QH∥y轴 ∵AQODOB,OBDQBO

∴△OBD∽△QBO OBDB∴……………1分 QBOB∵直线yx4与y轴的交点为点D ∴点D的坐标为(0,4),OD4

∴sinABP又OB10，DB∵AB32

∴AQ82,DQ42 ∵QH∥y轴 ∴∴

2

∴QB52，DQ42……………1分

ODAD QHAQ442 QH82∴QH8 ……………………………………1分 即点Q的纵坐标是8

又点Q在直线yx4上

点Q的坐标为(4,8)……………1分

长宁区

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）

如图在直角坐标平面内，抛物线yax2bx3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结AD、DC，求ACD的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

备用图

第24题图

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线yax2bx3上 ∴ab30a1，解得 （ 2分）

9a3b30b2∴抛物线的表达式为yx22x3，顶点D的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴AC32，CD25，AD2

222∴CDACAD ∴CAD90 （ 2分）

∴SACD11ACAD3223. （1分） 22ADAC2， BOAO∴△CAD∽△AOB，∴ACDOAB

∵OA=OC，AOC90 ∴OACOCA45

∴OACOABOCAACD，即BACBCD （ 1分）

（3）∵CADAOB90，

若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则POC也为锐角三角形，点P在第四象限

由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是y2x6，设P(t,2t6)（0t3） 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OHt，PH62t

①当POCABC时,由tanPOCtanABC得PHAO，

OHBO∴

62t66183，解得t， ∴P(,) （2分） 1t555②当POCACB时,由tanPOCtanACBtan451得PH1，

OH62t1，解得t2，∴P2(2,2) （ 2分） t618)或P2(2,2) 综上得P1(,55∴

崇明区

24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）

已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)． （1）求抛物线的解析式；

（2）联结AC、BC、AB，求BAC的正切值；

（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PGAP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．

24．（本题满分12分，每小题4分）

解：（1）设所求二次函数的解析式为yaxbxc(a0)，………………………1分

2y A B O C （第24题图） x 16a4bc1,将A（0,3）、B（4，）、C（3,0）代入，得 9a3bc0,

c3.1a25解得b ………2分

2c3所以，这个二次函数的解析式为y125xx3 ……………………………1分 22（2）∵A（0,3）、B（4，）、C（3,0） ∴AC32，BC∴AC2BC2AB2

∴∠ACB90 ………………………………………………………2分 ∴tan∠BAC2，AB25 BC21 ……………………………………………2分 AC323（3）过点P作PH⊥y轴，垂足为H

设P(x,12515xx3)，则H(0,x2x3) 2222∵A（0,3） ∴AH125xx，PHx 22∵∠ACB∠APG90

∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能： 1° ∠PAG∠CAB 则tan∠PAGtan∠CAB1 3即

x1PH1 解得x11 ………………………1分  ∴

125AH3xx322∴点P的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分 2° ∠PAG∠ABC 则tan∠PAGtan∠ABC3

xPH173 解得x …………………………1分 3 ∴即

125AH3xx22∴点P的坐标为(1744,) ……………………………………………………1分 39奉贤区

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知平面直角坐标系xOy（如图8），抛物线yx22mx3m2(m0)与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴 为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC． （1）当点C（0，3）时，

① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE；

（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．

y1 o1 x图8

黄浦区

24．（本题满分12分）

已知抛物线yx2bxc经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D. （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD的面积；

（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相 似，求点P的坐标.

24. 解：（1）由题意得：01bc，———————————————————（2分）

3cb4 解得：，—————————————————————————（1分）

c3所以抛物线的表达式为yx4x3. ——————————————（1分） （2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分） 作DT⊥y轴于点T, 则△ABD的面积=

211124131211.————————（3分） 222 p2.————————————————（1分）

2（3）令Pp,p4p3由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，

p24p31p24p3113或，所以————————————（2分）

p2p23解得：p5或p7， 3所以点P的坐标为（5,8），78 ,.————————————————（1分）

39

金山区

24．（本题满分12分，每小题4分）

平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线yx2bxc经过点A（1,0）和B（3,0），

与y轴相交于点C，顶点为P．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，

求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为

直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．

图8

24．解：（1）∵二次函数yx2bxc的图像经过点A（1，0）和B（3，0）， ∴1bc0，解得：b4，c3．……………………………（2分）

93bc02 ∴这条抛物线的表达式是yx4x3…………………………………（1分）

顶点P的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）

（2）抛物线yx4x3的对称轴是直线x2，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）

根据题意得：

分）

2(21)2(m0)2(20)2(m3)2，解得：m=2，…（2

∴点E的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分） （3）解法一：设点Q的坐标为(t,t24t3)，记MN与x轴相交于点F．

作QD⊥MN，垂足为D，

则DQt2，DEt4t32t4t1………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）

22t2t24t1DQDE∴，∴， BFEF12解得t11（不合题意，舍去），t25．……………………………（1分） ∴t5，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）

解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，

∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，

又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）

点Q是所求的点，设点Q的坐标为(t,t24t3)， 作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=t4t3，OH=t，AH=t-1， ∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴

221EFAF，∴2，………（1分） t4t3t1QHAH解得t11（不合题意，舍去），t25．……………………………………（1分） ∴t5，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）

静安区

24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，3）．抛物线yax8axc（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．

（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM的面积；

（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形， 且AD//BC，求点D的坐标．

O B · C 第24题图 2y x 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

8a，即x4． …………（1分） 2a点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴c0， …………（1分）

解：（1）由题意得：抛物线对称轴x2将C（9，-3）代入yax8ax，得a…………………………（1分）

3

1∴抛物线的表达式：y128xx…………………………（1分） 33

（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y） 又∵MA=MC，即MAMC222222

∴4y5(y3), 解得y=-3, ∴M（4，-3） …………………（2分） ∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，,

AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3 ∴Sy 1139(ABMC)MH(85)3…………（2分） 222

(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入yBCkxb 可得

8kb0k3，解得 9kb3b24由题意得，∵AD//BC,kBC3∴kAD3，yAD3x…（1分） 又∵AD过（0,0），DC=AB=8， 设D(x,-3x) (x9)(3x3)8, …………………………（1分）

222O A M B C x 解得x11(不合题意，舍去)，x2…………………………（1分）

5 ∴y3x

13391339∴点D的坐标(,)．……………………（1分）555

闵行区

24．（本题满分12分，其中每小题各4分）

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22xc与x轴交于 点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB；

（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为 底的等腰三角形，求Q点的坐标．

C D y A O （第24题图）

B x 24．解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入yax22xc中，

9a6c0a1得，解得．……………………………………（2分）

c3c3∴抛物线的解析式是：yx22x3．……………………………（1分） ∴顶点坐标D（－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令y0，则x22x30，x13，x21，∴A（－3，0）

∴OAOC3，∴∠CAO=∠OCA．…………………………………（1分）

OB1在RtBOC中，tanOCB．………………………………（1分）

OC3∵AC32，DC2，AD25， ∴AC2DC220，AD220；

∴AC2DC2AD2，ACD是直角三角形且ACD90，

DC1∴tanDAC，

AC3又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．…………………（1分） ∴DACCAOBCOOCA，

即DABACB．……………………………………………………（1分） （3）令Q(x，y)且满足yx22x3，A(3,0)，D(1，4）

∵ADQ是以AD为底的等腰三角形，

化简得：x22y0．………………………………………………（1分） x22y0由，……………………………………………………（1分） 2yx2x3∴QD2QA2，即(x3)2y2(x1)2(y4)2，

341341xx1244解得，． y1141y1141128834111413411141∴点Q的坐标是,,，．…（2分） 4848普陀区

24．（本题满分12分）

如图10，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线yx2bx147的对称轴交于点C2,2，抛物线的顶点是点D． 2（1）求k和b的值；

（2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由． y

1

O

1 x

图10

24．解：

（1） 由直线ykx3经过点C2,2，可得k. ················································· （1分）

由抛物线yx2bx12147的对称轴是直线x2，可得b1. ······················· （1分） 2（2） ∵直线yx3与x轴、y轴分别相交于点A、B，

∴点A的坐标是6,0，点B的坐标是0,3. ····················································· （2分）

12∵抛物线的顶点是点D，∴点D的坐标是2,. ············································· （1分）

92∵点G是y轴上一点，∴设点G的坐标是0,m. ∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，GBCBCD，

∴△BCG与△BCD相似有两种可能情况： ·························································· （1分） ①如果

BGBC3m5＝＝，那么，解得m＝1，∴点G的坐标是0,1. ···· （1分）

5CBCD52BGBC13m51＝＝，那么，解得m＝，∴点G的坐标是0,. （1分）

5CDCB252212②如果

综上所述，符合要求的点G有两个，其坐标分别是0,1和0, ．

（3）点E的坐标是1,或2,. ····································································· （2分+2分）

9492青浦区

24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）

已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax点

A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线x2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；

（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． ．

yByB2bx3的图像与x轴交于

OAxOAx图8 备用图 24．解：（1）∵顶点C在直线x2上，∴x2b2，∴b4a． ······················ （1分） 2a将A（3，0）代入yaxbx3，得9a3b3=0， ························· （1分）

解得a1，b4． ····················································································· （1分） ∴抛物线的解析式为yx4x3． ························································ （1分） （2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．

2∵yx4x3=x21，∴C（2，1）． ·································· （1分）

22∵CMMA1，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴ODOA3． ··························································································· （1分） ∵抛物线yx4x3与y轴交于点B，∴B（0，3），

∴BD6． ······························································································· （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积， ∴SBCDE22SBCD12BDCN6212． ································ （1分）

2（3）联结CE.

∵四边形BCDE是平行四边形，∴点O是对角线CE与BD的交点， 即 OEOC5. （i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1CE，交x轴于点F1， 设点F，在RtOCF1中，OF12=OC2CF12， （1a,0）即 a2(a2)25，解得 a55（,0），∴点F ··········································· （1分） 1225,0） ····························································································· （1分） 2（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点 （同理，得点F2-、F ······· （2分） F3、F4，可得 OF3=OF4OC5，得点F（5,0）（34-5,0）（,0）（综上所述：满足条件的点有F，F12-525,0），F），F． （5,0）（,0）34-52松江区

24．（本题满分12分，每小题各4分）

如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，1），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A． （1）求该抛物线的表达式；

（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长； （3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．

y P B O A x

24．（本题满分12分，每小题各4分）

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，1）

ab∴ 1b …………………………………2分2a1

解得：a1b2 …………………………………1分

∴抛物线的表达式为：y=x2

-2x；…………………………1分（2）∵点P 的横坐标为m，

∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分 令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N ∵P是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1

由PNm22ONBMOM得mmBM1………………………1分

∴ BM=m-2…………………………………………………1分 ∵ 点C的坐标为（1，1），

∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分 （3）令P(t，t2-2t) ………………………………………………1分 △ABP的面积等于△ABC的面积 ∴AC=AP

过点P作PQ⊥BC交BC于点Q ∴CM=MQ=1

∴t2-2t=1 …………………………………………………1分 ∴t12（t12舍去）………………………………1分 ∴ P的坐标为（12,1）……………………………………1分

徐汇区

y P B O A x C (第24题图)

24. 如图，已知直线y121x2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线yxbxc

22过点B、C，且与x轴交于另一个点A. （1）求该抛物线的表达式；

（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴 交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时， 求它的面积；

（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足

DBACAO，求点D的坐标.

杨浦区

24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

如图8，在平面直角坐标系中，抛物线 于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线 经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。 （1） 求抛物线的表达式 （2） 如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值。

（3） 当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P

的坐标。