三角函数模型中“ω”值的求法探究

在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．

1．结合三角函数的单调性求解

ππ2π

ωx＋(ω>0)在区间－，上单[典例1] (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sin643调递增，则ω的取值范围为( )

8

0， A.318C.2，3

ωππ

π

1

0， B.23D.8，2

－4＋6≥－2＋2kπ，k∈Z，

[解析] 法一：由题意得2ωπππ

3＋6≤2＋2kπ，k∈Z，ω≤3－8k，k∈Z，则1

ω≤2＋3k，k∈Z，

8

8

3－8k>0，又ω>0，所以1

2＋3k>0

k∈Z，

1

所以k＝0，则0<ω≤，故选B.

2πx＋， 法二：取ω＝1，则f(x)＝sin6ππ3ππ4π

令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 26233

π4ππ2π

，上单调递减，与函数f(x)在区间－，上单调递增矛盾，当k＝1时，函数f(x)在区间3343故ω≠1，结合四个选项可知选B.

[答案] B

[点评] 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝ππ2π

ωx＋(ω>0)在区间－，上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围． sin643

[对点训练]

1．(2019·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)＝23 sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间

1

－3π，3π上单调递增，则正数ω的最大值为( ) 221A. 81C. 4

1B．

61D. 3

解析：选B 法一：因为f(x)＝23 sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝3 sin 2ωx＋1在区间

－3π，3π上单调递增， 22所以π

3ωπ≤，2

π－3ωπ≥－，2

11

解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.

66

π

法二：易知f(x)＝3sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，

ω

所以π3π

4ω≥2，

π3π－≤－，4ω2

1

解得ω≤.故选B.

6

2．利用三角函数的对称性求解

πππ

ωx＋(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，0，则[典例2] 已知函数f(x)＝cos3123ω有( )

A．最小值2 C．最小值1

B．最大值2 D．最大值1

TT

[解析] 因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心

42

π，0到对称轴x＝π间的距离用周期可表示为π－π≥T，又∵T＝2π，

1233124ω

2π

ωπ

∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A. 44[答案] A

T

[点评] 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和

2T

对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可

4

2

以研究“ω”的取值．

[对点训练]

π

0，上是单调函数，且f(－π)＝f(0)2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在区间2π＝－f2，则ω的值为( )

2

A. 31C. 3

2B．或2

31

D．1或

3

πTπ

0，上单调，所以≥，即T≥π.若T＝π，则ω＝2；若T>π，因为解析：选B 因为f(x)在222ππ0，π上f(x)图象的对f(－π)＝f(0)＝－f，所以直线x＝－是f(x)的图象的一条对称轴，且在区间222ππ3πTπ2π2

，0，所以＝－－＝，所以T＝3π，ω＝＝.故选B. 称中心是44424T3

3．利用三角函数的最值求解

ππ

－，上的最小值为－2，[典例3] 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间则ω的取值范围是________． 34[解析] 显然ω≠0.

ππππππ

－，时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间－，上的最小若ω>0，当x∈343434ππ3

值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.

322

ππππππ

－，时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间－，上的最小若ω<0，当x∈343443ππ

值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.

42

3

，＋∞. 综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪23[答案] (－∞，－2]∪2，＋∞

[点评] 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．

[对点训练]

ππ对任意的实数x都成立，ωx－(ω>0)．3．设函数f(x)＝cos若f(x)≤f则 ω的最小值为________． 64πππ＝1，πω解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f4444

3

π22－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)．又ω>0，∴ωmin＝. 633

2答案：

3

4