论文泰勒级数的收敛域及分析性质

本科毕业论文

题目： 函数fx1x的泰勒级数的收敛域及分析性m质

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学2007级6班

姓名： 张彩霞

指导教师： 何美 职 称： 副教授

完成日期： 2011 年 5 月 18 日

函数fx1xm的泰勒级数的收敛域及分析性质

摘要： 本文主要讨论了二项式级数fx1x（0,1,2,）的收敛区间端点的

勒级数的收敛域及其函数fx1x（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域.由于推广后的函数fx1x（m为

mm敛散性，和它推广后所得的形如fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰

正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的收敛半径相同，所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论，进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时，便能根据具体的,m，很快写出其收敛域，而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.

关键词：泰勒级数；逐项微分；逐项积分；收敛区间；收敛域.

目 录

1 预备理论 .................................................................................................................. 1

1.1 幂级数理论 .................................................................................................... 1 1.2 函数的幂级数展开理论 ................................................................................ 2 1.3 超越几何级数的收敛域 ................................................................................ 3 2 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数收敛域 ....... 3

2.1 函数fx1x的泰勒级数及其收敛域 ................................................ 3

2.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数及其收敛域

........................................................................................................................ 5 2.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数及其收敛域

........................................................................................................................ 6

3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的分析性质 . 8

m3.1 函数fx1x（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质

 ........................................................................................................................ 8 3.1.1 函数fx1x的泰勒级数的可微性质 ..................................... 8

3.1.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质 ............................................................................................................. 8 3.1.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质 ............................................................................................................. 9 3.2 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质

........................................................................................................................ 9 3.2.1 函数fx1x的泰勒级数的可积性质 ..................................... 9 3.2.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质 ........................................................................................................... 10 3.2.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质 ........................................................................................................... 11

参考文献 ..................................................................................................................... 13 谢 辞 ......................................................................................................................... 15



1

预备理论

1.1 幂级数理论

定义1 形如an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n 的函数级数称为幂级数，其中a0,a1,a2,,an,为常数，称为幂级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。

本文将着重讨论x00，即幂级数

n01axnn0na0a1xa2x2anxn(1) 的情形.

以及幂级数1在收敛域内逐项求导后得到的幂级数

naxnn1n1a12a2x3a3x2nanxn1(2)

与幂级数1在收敛域内逐项积分后得到的幂级数

ann1ann1a12a23xaxxxx(3) 023n1n0n1定理11 (阿贝尔定理)

1)若幂级数1在xx00收敛,则幂级数1在x:xx0都绝对收敛. 2) 若幂级数1在xx1发散,则幂级数1在x:xx1都发散.

由此定理知道：幂级数1的收敛域时以原点为中心的区间.若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径，其实它就是使得幂级数1收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.

注：当xR时，幂级数1可能收敛也可能发散. 我们称R,R为幂级数1的收敛区间.

定理2 对于幂级数1，即anxn，若

1nliman1l limnnannanl，

n0则幂级数1的收敛半径

- 1 -

10l,l,R,l0,

0,l.定理31 幂级数1与幂级数2，3具有相同的收敛区间.

注： 虽然幂级数1、2、3的收敛半径相等，但是它的收敛域不一定相同.

定理41 设幂级数1在收敛区间R,R上的和函数为fx,若x为R,R内任意一点，则

（i）fx在x可导，且f'xnanxn1；

n1 （ii）fx在0与x这个区间上可积，且ftdt0xann1x. n1n0此定理说明幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积. 1.2 函数的幂级数展开理论

若函数fx在xx0处存在任意阶的导数，这时称形式为

f''x0fnx02xx0xx0n 4 fx0f'x0xx02!n!的级数为函数fx在x0的泰勒级数.

对于级数4能否在x0附近确切地表达fx，或说fx在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是fx，有如下定理5

定理51 设fx在点x0具有任意阶导数，那么fx在区间x0r,x0r内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是：对一切满足不等式xx0r的x，有

limRnx0

n这里Rnx是fx在x0的泰勒公式余项.

如果fx能在x0的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数fx在x0的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式

f''x0fnx02xx0xx0n fxfx0f'x0xx02!n!的右边为fx在xx0处得泰勒展开式，或称幂级数展开式.

- 2 -

定理61（幂级数展开式的惟一性）

若函数fx在x0的某邻域内可展为幂级数fxanxx0

nn0则其系数anfnn!x0 n0,1,2,

这里规定0!1,f0fx0

在实际应用在中，主要讨论函数在x00处的展开式，这时4式可写成

f''02fn0nf0f'0xxx

2!n!称之为麦克劳林级数. 1.3 超越几何级数的收敛域 对于超越几何级数2

F,,,x11n11n1nx

n!1n1n1的敛散性情况如下表1：

x1 x1 x1 绝对收敛 发散 绝对收敛 发散 绝对收敛 条件收敛 发散 0 0 0 x1 01 1 2

函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数收敛域

2.1 函数fx1x的泰勒级数及其收敛域 当为正整数时，由二项式定理直接展开，就得到fx的展开式. （所以在下面的探讨中都是假定0,1,2,） 因为fnx1n11xn,n1,2,

从而有fn01n1,n1,2,

- 3 -

于是，fx的麦克劳林级数是

121n1n1xxx. 5

2!n!1n1nx 令unn!则运用比式判别法，

limnun1unlimnnn1xx

可得级数5的收敛半径R1. 现在1,1内考察它的柯西余项

Rnx1nn!11xn11x,01. 1xn运用比式判别法，级数n01nn!xn1当x1时收敛，故有

limn1nn!xn10

n111，从而有又由于x1有1x1，且01. 1x1x再当x1时，有01x11x121.于是当1时，1x1是与n无关的有界量；当1时，也有同样结论.

综上所述，当x1时， limRnx0

n所以，在1,1上

1x1x1x21n1xn. 6

2!n!我们称上式为二项式级数，当 为正整数时，上式6即为二项式定理.

对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，借鉴超越几何级数的收敛域的结论，容易知道，二项式级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当,时，以x代替x而得出，由于这点，再结合表1，容易做出二项式级数在它的收敛区间的端点x1上的敛散性情况的表2：

x1 0 01 绝对收敛 条件收敛 发散 1 - 4 -

x1 0 0 绝对收敛 发散 二项式级数在x1处敛散性的证明见文献4.

所以，二项式级数

1x1x1x21n1xn. 6

2!n!的收敛域为： 当1时，收敛域为1,1；

当10时，收敛域为1,1； 当0时，收敛域为1,1.

2.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数及其收敛域 由上面对fx1x的泰勒级数讨论，我们容易得到

2!1n1mnx 令unn!由比式判别法，

limn1xm1xm1x2m1n1n!xnm. 7

un1unlimnnn1xmxm

可得7的收敛半径R1，此处我们重点放在对收敛区间端点的讨论上.

1 当1时，

当x1时，xm1

当x1时，xm1 或xm1.

把xm看做一个整体作为因变量，由表2知道，xm1在当1时都发散， 所以，这时级数7的收敛域为1,1.

2 当10时，同样按照上面的方法得到

当x1即xm1时， 级数7收敛; 当x1时，

当m为偶数时，xm1. 级数7收敛; 当m为奇数时，xm1. 级数7发散; 所以，这时级数7的收敛域为：

当m为奇数时，收敛域为1,1； 当m为偶数时，收敛域为1,1.

- 5 -

3 当0时，

当x1时，xm1. 级数7收敛; 当x1时，xm1 或xm1. 级数7收敛; 所以，这时级数7的收敛域为：1,1.

综上所述，级数

n1xnm. 7

1xm1xm2!1x2m1n!的收敛域为： 当1时，收敛域为1,1；

1,1 m为奇数

当10时，收敛域为

1,1 m为偶数 当0时，收敛域为1,1.

2.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数及其收敛域 设mq，p,q1且qp. ，p,q匀为正整数. p由上面对fx1x的泰勒级数讨论，我们容易得到

qqqq2n11n11xp1xpxpxp. 8

2!n!1 当p为偶数时，q只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.

由比式判别法，

limnun1unlimnnn1xqpxqp

得到， 级数8的收敛区间为0,1.

下面将重点探讨x1时的敛散性. 当x1时，x1.由表2得

当1时，级数8发散； 当1时，级数8收敛； 所以，这时级数8的收敛域为：

当1时，收敛域为0,1； 当1时，收敛域为0,1.

- 6 -

qp

2 当p为奇数时，

由比式判别法，

limun1limnxqpxqp

nunnn1得到， 级数8的收敛区间为1,1.

下面将重点探讨x1处的敛散性.

① 当q为奇数时，

q当x1时，xpq1 当x1时，xp1.

结合表2，易得到表3： q0 绝对收敛 x1 xp1 10 条件收敛 q1 发散 x1 xp1 0 绝对收敛 0 发散 所以，级数8的收敛域为：

当1时，收敛域为1,1； 当10时，收敛域为1,1； 当0时，收敛域为1,1. ② 当q为偶数时，

q当x1时，xp1

结合表2，易得到表4：

x1 q0 绝对收敛 px1 x1 10 条件收敛 1 发散 所以，级数8的收敛域为：

当1时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1； 综上所述，级数

q1xpq1xp1x2qp1n1xnqp2!n!. - 7 -

8

的收敛域为：

当p为偶数时， 当1时，收敛域为0,1；

当1时，收敛域为0,1. 当p为奇数时，

当q为奇数时， 当1时，收敛域为1,1； 当10时，收敛域为1,1； 当0时，收敛域为1,1. 当q为偶数时， 当1时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1； 3

函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的分析性质

3.1 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质 3.1.1 函数fx1x的泰勒级数的可微性质

由级数6知

12x212nxn fx11x2!n!1x1 9

利用级数6的收敛域的结论得到级数9的收敛域为：

当11即0时，收敛域为1,1； 当110即01时，收敛域为1,1； 当10即1时，收敛域为1,1.

3.1.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质

由级数7知

12x2m12nxnm fxmxm111xm2!n! mxm11xm1 10

又由级数7的收敛域的结论得到级数10的收敛域为：

- 8 -

当11即0时，收敛域为1,1；

1,1 m为奇数

当110即01时，收敛域为 1,1 m为偶数 当10即1时，收敛域为1,1.

3.1.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可微性质

设mq，p,q1且qp. ，p,q匀为正整数 pqqqq2nqp11212npppfxx11xxxp2!n! qxpq1pq1xp1 11

由级数8的收敛域的结论得到级数11的收敛域为：

当p为偶数时， 当0时，收敛域为0,1；

当0时，收敛域为0,1. 当p为奇数时，

当q为奇数时， 当0时，收敛域为1,1； 当01时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1. 当q为偶数时， 当0时，收敛域为1,1； 当0时，收敛域为1,1；

3.2 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质 3.2.1 函数fx1x的泰勒级数的可积性质 由级数6知

当1时，

1tdt0x1x21n2xn1 111x12!n!111x11 12 11  - 9 -

当1时，

nx2x3n1x01tdtx231nln1x 13 x易知，级数13的收敛域为1,1.

利用级数6的收敛域的结论得到级数12的收敛域为： 当11即2时，收敛域为1,1； 当110即21时，收敛域为1,1； 当10即1时，收敛域为1,1. 所以， 函数1tdt的泰勒级数的收敛域为：

0x1 当2时，收敛域为1,1； 当21时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1.

3.2.2 函数fx1xm（m为正整数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质

x0xm1x2m1n1xnmftdtx1

m12!2m1n!mn11n1xnmx1 14

n!mn1n1gx1n11n1n!xnm 15 mn1容易知道，级数14与级数15有相同的收敛域.所以，下面讨论级数15的收敛域.

对于级数15，令vn则由比式判别法，

limn1n1n!mn1xnm，

vn1vnlimnmn1xmnn1mnm1xm

可得15的收敛半径R1，下面关键探讨收敛区间端点的敛散性.容易知道，级数15是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当,11时，以x代替x而m得出，所以这时超越几何级数中的1，再结合表1，级数15在它的收敛区间的端点x1上的敛散性情况如表5：

- 10 -

x1 xm1 1 21 绝对收敛 条件收敛 发散 绝对收敛 条件收敛 发散 绝对收敛 发散 2 x1 xm1 xm1 1 21 2 1 1 所以，级数

x01n1xnmftdtx1 14

n!mn1n1的收敛域为： 当2时，收敛域为1,1；

1,1 m为奇数

当21时，收敛域为

1,1 m为偶数

当1时，收敛域为1,1.

3.2.3 函数fx1xm（m为正有理数且0,1,2,）的泰勒级数的可积性质

设mq，p,q1且qp. ，p,q匀为正整数 px0qn1n1xp 16 ftdtx1qn!n1n1pq为有理数时，对应于超越几何级数中的p在上面的讨论中，我们知道当m1与m无关，故

1 当p为偶数时，q只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.

由比式判别法，

vn1vnxpxp limnqqn1n1ppqnn1pqqlimn - 11 -

得到， 级数16的收敛区间为0,1.

下面将重点探讨x1时的敛散性.

当x1时，x1.由表5得

当2时，级数16发散； 当2时，级数16收敛； 所以，这时级数16的收敛域为： 当2时，收敛域为0,1； 当2时，收敛域为0,1.

qp2 当p为奇数时，

由比式判别法，

vn1vnxnqqn1n1ppqnn1pqpqplimnlimx

得到，级数16的收敛区间为1,1. 下面将重点探讨x1处的敛散性. ① 当q为奇数时，

当x1时，x1 当x1时，x1.

结合表5，易得到表6：

x1 qpqp x1 qp1 21 绝对收敛 条件收敛 发散 绝对收敛 发散 2 x1 x1 qp1 1 所以，级数16的收敛域为：

当2时，收敛域为1,1；

当21时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1.

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② 当q为偶数时，

当x1时，x1

结合表5，易得到表7：

x1 x1 qp x1 所以，级数16的收敛域为：

qp1 21 绝对收敛 条件收敛 发散 2 当2时，收敛域为1,1； 当2时，收敛域为1,1； 综上所述，级数

x0qn1n1xp 16 ftdtx1qn!n1n1p的收敛域为：

当p为偶数时， 当2时，收敛域为0,1；

当2时，收敛域为0,1. 当p为奇数时，

当q为奇数时，当2时，收敛域为1,1；

当21时，收敛域为1,1； 当1时，收敛域为1,1. 当q为偶数时，当2时，收敛域为1,1； 当2时，收敛域为1,1； 参考文献

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Function of The Taylor Series Convergence And Analysis

Properties

Abstract: this paper mainly discusses the binomial series fx1x（0,1,2,）

convergence interval endpoint convergence, and it after the promotion from shaped likefx1xm (m for the rational number and0,1,2,) is the convergence Taylor is its function fx1xm (m for the rational number and0,1,2,) differential, item by item, Taylor series of the series after item by item, integral income convergence. Because the function fx1xm (m for promoting the rational number and 0,1,2,) is the convergent radii .Taylor series is same, so this paper aims to discuss the convergence interval, then get endpoint regularly convergence.So we met Such forms of function of Taylor series, can according to specific ,m, quickly write its convergence, and don't need to its convergence interval endpoint to analyze the divergence of dispersed.

Keywords: taylor series; term by term differentiation; term by term integration; interval

of convergence; domain of convergence

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谢 辞

论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢我的指导老师何美，因为论文是在何老师的悉心指导下完成的。本论文从选题到完成，每一步都是在何老师的指导下完成的，倾注了她大量的心血。何老师指引我的论文的写作方向和架构，并对本论文进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，她一丝不苟的作风，将一直是我学习中的榜样。何老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。在此，谨向何老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢何老师在我撰写论文的过程中给予我的极大的帮助。

论文的顺利完成，也离不开其他同学和朋友的关心和帮助，在此谢谢他们。在整个论文写作过程中，各位同学和朋友积极地帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，使论文得以不断地完善，最终帮助我写完了整篇论文。另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业知识，这也是论文得以完成的基础。感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！

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