工程力学教程电子教案

-工程力学教程电子教案第8章扭转第8章扭转8-1扭矩和扭矩图8-3圆杆扭转时的应力与变形8-4强度条件及刚度条件8-6矩形截面杆的扭转8-2薄壁圆筒扭转时的应力与应变-工程力学教程电子教案第8章扭转受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶。变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用表示。工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。-工程力学教程电子教案第8章扭转扭转实例：-工程力学教程电子教案第8章扭转-工程力学教程电子教案第8章扭转-工程力学教程电子教案第8章扭转8-1扭矩和扭矩图ABl-工程力学教程电子教案第8章扭转如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为螺旋线ab,诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如B截面相对于A截面转过一角度bOb。为了分析横截面上的内力，取m-m截面。-工程力学教程电子教案第8章扭转由图示任意横截面m-m左段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号T表示。-工程力学教程电子教案第8章扭转由M_(F)=0TMe=0即T=Me取(c)图列方程可得相同的计算结果。-工程力学教程电子教案第8章扭转扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：使卷曲右手的四指其转向与扭矩T的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。T矢量指向离开截面为正，反之为负-工程力学教程电子教案第8章扭转一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2kNm,MB=3.5kNm,MC=1kNm,MD=0.5kNm,转向如图。试作该传动轴之扭矩图。解：只要求出AB、BC、CD段中任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。例题8-1-工程力学教程电子教案第8章扭转1-1截面：M_(F)=0MA T1=0得T1=MA=-2kNm分别作截面1-

1、2-

2、3-3，如右图所示。考虑1-1截面例题8-1-工程力学教程电子教案第8章扭转例题8-1同理得T2=1.5kNm,T3=0.5kNm-工程力学教程电子教案第8章扭转该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？思考题8-1-工程力学教程电子教案第6章内力和内力图作杆的扭矩图。思考题8-21m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-2参考答m_0.40.2O1m1m0.2m0.1m0.1m4kN1kN2kN-工程力学教程电子教案第8章扭转我们在前面讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转变形，产生相对扭转角bOb(B截面相对于A截面)，受扭杆之内力如右图。用分离体分析扭矩T。-工程力学教程电子教案第8章扭转本章主要研究以下内容：(1)薄壁圆筒扭转时的应力和应变；(2)等直圆截面杆受扭时的应力和变形；(等直圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。)(3)简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。(非圆截面杆受扭时，横截面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。)-工程力学教程电子教案第8章扭转受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？思考题8-3答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。-工程力学教程电子教案第8章扭转受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量(以弧度计)称之为切应变。8-2薄壁圆筒扭转时的应力与应变平均半径为R0、厚度为，且R0。MeADBCMe-工程力学教程电子教案第8章扭转根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆周的切向。MeADBCMe-工程力学教程电子教案第8章扭转上述内容主要说明：(1)薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；(2)薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；(3)薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。-工程力学教程电子教案第8章扭转对于薄壁圆筒(d很小)，横截面上其它各点处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。即如图中所示。-工程力学教程电子教案第8章扭转这样，知道了切应力t的分布规律后，便可以利用静力学关系切向力相对圆心的力臂,可用平均半径R0代替上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向(壁厚)不变的情况下导出的。=10，其误差为4.5。则从而有-工程力学教程电子教案第8章扭转由上图得式中R为圆筒的外半径。则MeADBCMe-工程力学教程电子教案第8章扭转MeOO剪切比例极限ttp通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，扭转角与外力偶矩Me(此时T=Me)之间成正比。-工程力学教程电子教案第8章扭转图中的线性关系为t=G上式称之为材料的剪切胡克定律。式中G切变模量，单位为MPa。各种钢的切变模量约为8.0104MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而异；Q235钢，tp120MPa。O剪切比例极限ttp理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变模量与其它两个弹性常数E和n之间存在下列关系：泊松比-工程力学教程电子教案第8章扭转实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀分布的。8-3圆杆扭转时的应力与变形8.3.1横截面上的切应力现在的关键在于：确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径的一点处切应力t与的关系。-工程力学教程电子教案第8章扭转首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的物理关系。(1)几何方面(2)物理方面(3)静力学方面-工程力学教程电子教案第8章扭转1.几何方面(1)等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况下，圆周线间的相对纵向距离也不变。如下图，实验表明：d_-工程力学教程电子教案第8章扭转(2)平面假设等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一条半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。-工程力学教程电子教案第8章扭转取微段d_分析：得半径为的任意圆杆面上的切应变。(1)式中：是扭转角沿杆长的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，与成线性关系。即：-工程力学教程电子教案第8章扭转2.物理方面由剪切胡克定律：t=G，在ttp时，可把(1)式代入，得：上式表明：受扭的等直杆性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径的圆周上各点处大小相同，但它们随作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上，方向垂直于各自的半径。(2)-工程力学教程电子教案第8章扭转3.静力学方面式中的积分是整个横截面面积A范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截面的几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：(单位：mm4或m4)故OdA-工程力学教程电子教案第8章扭转等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式：若求tma_，则令=R，有上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆性弹性范围内受扭的情况。改写成其中扭转截面系数，常用单位：mm3或m3。-工程力学教程电子教案第8章扭转.OABT思考题8-4下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩T亦如图所示，试绘出水平直径AB上各点处切应力的变化图。-工程力学教程电子教案第8章扭转T思考题8-4参考答案:-工程力学教程电子教案第8章扭转一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直径的变化图，若(1)两杆材料相同，即G1=G2=G；(2)两材料不同，G1=2G2。T12思考题8-5-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-5(1)答案：TG1=G2=G21-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-5(2)答案：TG1=2G221-工程力学教程电子教案第8章扭转8.3.3扭转角-工程力学教程电子教案第8章扭转主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有8.3.2极惯性矩和抗扭截面系数Ip和Wp对于实心圆截面-工程力学教程电子教案第8章扭转对于空心圆截面(外径D，内径d)式中：a工程力学教程电子教案第8章扭转若l范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式为GIp越大，扭转角越小，故称为扭转刚度。比较：-工程力学教程电子教案第8章扭转例题8-2一水轮机的功率为P=7350kW，其竖轴是直径为d=650mm，而长度为l=6000mm的等截面实心钢轴，材料的切变模量为G=0.8105MPa。求当水轮机以转速n=57.n匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角。Me-工程力学教程电子教案第8章扭转解：轴传递功率P(kW)，相当于1分钟传递功W=1000P60(Nm)(1)令(1)、(2)相等，得外力偶1分钟做功(2)即例题8-2-工程力学教程电子教案第8章扭转因此作用在轴上的外力偶矩M为极惯性矩例题8-2-工程力学教程电子教案第8章扭转图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：M1=1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d=70mm,钢的切变模量G=8104MPa。试求截面C对B的扭转角例题8-3M3M1dABCM2-工程力学教程电子教案第8章扭转例题8-3M3M1dABCM2解：由截面法得，两段内扭矩分别为T=955Nm,T=637Nm。先分别计算B，C截面对A之扭转角，,则可以假想此时A不动。-工程力学教程电子教案第8章扭转上两式中的Ip可以利用例题8-3M3M1dABCM2其转向与扭转力偶矩M3相同。由于假想截面A固定不动，故截面B、C相对于截面A的相对转动应分别与扭转力偶矩M

2、M3的转向相同，从而和的转向相同。由此可见，截面C对B的扭转角应是：-工程力学教程电子教案第8章扭转直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩T=1.5kNm，求横截面上的最大切应力。思考题8-6-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-7实心圆轴的直径d=100mm，长l=1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14kNm，转向相反。材料的切变模量G=8104MPa。求：(1)横截面上的最大切应力，以及两个端面的相对扭转角。(2)图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。-工程力学教程电子教案第8章扭转(1)tma_=71.3MPa=0.01784rad(2)tA=tB=tma_=71.3MPatC=35.7MPa思考题8-7参考答案：-工程力学教程电子教案第8章扭转8.3.3斜截面上的应力通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线破坏；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。-工程力学教程电子教案第8章扭转方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面围绕需研究的点上切一个单元体-工程力学教程电子教案第8章扭转(1)左、右横截面(2)顶、底面，径向截面(3)前、后面，切向截面__adcb-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-8如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体(半个圆柱体)。试绘出(1)横截面AGB上应力沿直径AB的分布；(2)径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。ECFDBAGMeMe-工程力学教程电子教案第8章扭转ECFDBAGMeMe思考题8-8参考答案：-工程力学教程电子教案第8章扭转现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体,它处于纯剪切应力状态,现改其为平面图表示：yabcden_-工程力学教程电子教案第8章扭转yabcden_(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图(a)、(b)。de斜截面上作用着未知的正应力sa和切应力ta。设de的面积为dA，则detn_c(b)-工程力学教程电子教案第8章扭转简化后：同理得：detn_c(b)-工程力学教程电子教案第8章扭转当a0o与a90o时：ta有最大值，即为ta=45o的情况下：sa有极值，即为t。a= 45o，sa=smin=-ta=-45o，sa=sma_= tdetn_c(b)abcd-工程力学教程电子教案第8章扭转由此看来，铸铁圆杆的所谓扭转破坏，其实质上是沿45方向拉伸引起的断裂。如下图所示。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力sma_总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的t作为依据。MeMe断裂线smin-工程力学教程电子教案第8章扭转1.薄壁圆筒扭转时的应力和应变。小结：2.圆杆扭转时的应力和变形。(1)横截面上的应力材料的剪切胡克定律、n三者之间的关系-工程力学教程电子教案第8章扭转(a)几何方面(b)物理方面(c)静力学方面代入Ip得-工程力学教程电子教案第8章扭转(d)极惯性矩和扭转截面系数实心圆截面空心圆截面-工程力学教程电子教案第8章扭转扭转角斜截面上的应力-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-9直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm；当它受一对矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，相距200mm的两个横截面相对转动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数E、G和n。-工程力学教程电子教案第8章扭转思考题8-9参考答案：-工程力学教程电子教案第8章扭转实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面的边缘处。8-4强度条件及刚度条件1.强度条件受扭圆杆的强度条件：对于等截面杆：危险点必在Tma_所在截面边缘处,即由以上两式得到-工程力学教程电子教案第8章扭转根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行(1)校核强度(2)选择截面尺寸(3)计算许可荷载2.刚度条件满足了强度条件，但若变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率,其最大值不超过某一规定的许可值来表达，即-工程力学教程电子教案第8章扭转来计算。化为角度每米则为式中，Tma_Nm，GPa，Ipm4式中为单位长度杆的许可扭转角，单对于等直的圆杆，其按式：-工程力学教程电子教案第8章扭转书例8-5校核强度和刚度书例8-6选择截面尺寸书例8-7建立强度条件许可扭转角，对于精密仪器的轴，常常取0.150.至于一般的轴则-工程力学教程电子教案第8章扭转0.5m0.3m1mACDB123d1d2例题8-4阶梯形圆柱直径分别为d1=4cm,d2=7cm,轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为P3=30kW,轮1输出的功率为P1=13kW,轴作匀速转动,转速n=20材料的许用切应力t=60MPa,切模量G=80109Pa,单位长度许用扭转角试校核轴的强度和刚度。-工程力学教程电子教案第8章扭转解:计算扭矩的绝对值：强度校核：例题8-40.5m0.3m1mACDB123d1d2-工程力学教程电子教案第8章扭转故强度满足。刚度校核：AC段：例题8-40.5m0.3m1mACDB123d1d2-工程力学教程电子教案第8章扭转故刚度满足。DB段：例题8-40.5m0.3m1mACDB123d1d2-工程力学教程电子教案第8章扭转实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=10传输功率P=7.5kW,材料的许用切应力t=40MPa,试选择实心轴直径d1和内外径比值为0.5的空心轴的外径。例题8-5-工程力学教程电子教案第8章扭转解:计算扭矩：计算实心轴直径,由强度条件例题8-5-工程力学教程电子教案第8章扭转计算空心轴直径,由强度条件:例题8-5-工程力学教程电子教案第8章扭转8-6矩形截面杆的扭转1.几个概念非圆截面杆受扭时,横截面会发生翘曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。(1)约束扭转非圆截面杆受扭时,既然横截面要发生翘曲,因此，如果翘曲受到牵制,例如杆件是变截面的，或者外力偶不是加在杆的两端，或者杆的端面受到外部约束而不能自由翘曲，那么杆的横截面上除了有切应力，还有正应力。这种扭转称为约束扭转。-工程力学教程电子教案第8章扭转(2)自由扭转横截面翘曲不受牵制的扭转称为自由扭转。要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，那么杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。-工程力学教程电子教案第8章扭转2.矩形截面杆的扭转主要对矩形截面杆进行强度和刚度计算。根据弹性力学的分析结果，矩形截面杆受扭时横截面上最大的切应力在长边的中点，其计算式为单位长度杆的扭转角：其中：Wt扭转截面系数It相当极惯性矩GIt杆的扭转刚度-工程力学教程电子教案第8章扭转It和Wt除了在量纲上与圆截面的Ip和Wp相同外，在几何意义上则是不同的。其中a和b由教材表8-1查得，此系数随m比值而变。其中h为长边尺寸，b为短边尺寸。矩形截面：则强度条件刚度条件-工程力学教程电子教案第8章扭转由弹性力学分析结果表明：横截面上的最大切应力tma_发生在长边中点。而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值可以按下式计算。式中n并非泊松比，其值由教材中表8-1查得。工程力学教程电子教案第8章扭转(1)在横截面上周边上各点处不可能有垂直于周边的切应力分量。(2)矩形截面上,顶点处的切应力必等于零。如图，矩形截面周边上各点处的切应力方向必与周边相切。这是因为杆表面上没有切应力，故由切应力互等定理可知：-工程力学教程电子教案第8章扭转弹性力学的分析结果还表明:狭长矩形截面的It和Wt有切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切,其数值除在靠近顶点处以外均相等，如图所示。h工程力学教程电子教案第8章扭转图示矩形截面钢杆受矩为M=3kNm的一对外力偶作用；已知材料的切变模量G=8104MPa。求：(1)杆内最大切应力；(2)横截面短边中点处的切应力；(3)单位长度杆的扭转角。9060MM思考题8-10工程力学教程电子教案第8章扭转(1)m=1.5查表有：(2)(3)(T=M)思考题8-10参考答案：工程力学教程电子教案第8章扭转解：于是：一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为h=100mm,b=50mm,长度l=2m，在杆的两端作用一对矩为M的扭转力偶。已知M=4000Nm，钢的允许切应力t=100MPa，G=8104MPa,=试校核杆的强度和刚度。例题8-6-工程力学教程电子教案第8章扭转以上结果表明，此杆满足强度和刚度条件的要求。例题8-6-工程力学教程电子教案第8章扭转