已知函数f(x)=lnx?ax+1?ax?1(a∈R).(Ⅰ)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点...
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发布时间：2024-10-24 17:10
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热心网友
时间：2024-11-21 12:19
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=lnx+x+2x-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=1x+1-2x2，因此，f′（2）=1，
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=ln2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2，
所以曲线，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因为f(x)＝lnx?ax+1?ax?1，
所以f′(x)＝1x?a+a?1x2=?ax2?x+1?ax2，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax2-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，
即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=1a-1．
①当a=12时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜12时，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1，1a-1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（1a-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于1a-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a=12时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜12时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，1a-1）上单调递增；
函数f（x）在（1a-1，+∞）上单调递减．
热心网友
时间：2024-11-21 12:16
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=lnx+x+2x-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=1x+1-2x2，因此，f′（2）=1，
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=ln2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2，
所以曲线，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因为f(x)＝lnx?ax+1?ax?1，
所以f′(x)＝1x?a+a?1x2=?ax2?x+1?ax2，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax2-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，
即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=1a-1．
①当a=12时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜12时，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1，1a-1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（1a-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于1a-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a=12时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜12时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，1a-1）上单调递增；
函数f（x）在（1a-1，+∞）上单调递减．
