清明漫谈:这些刻在物理学家墓碑上的公式,你能看懂几个?
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北京的万佛华侨陵园内，有一座特别的墓碑。紧挨的两块大理石，一白一红，分别铸成数字1和2。墓碑远景。走近些，便可看清，白色的大理石上，雕刻着画像和姓名：陈景润之墓。陈景润。这数字1和2究竟代表着什么？墓碑旁的黑底金字碑刻，大抵解释了墓碑独特造型的含义：碑刻的陈氏定理。为了更好地理解上述碑刻内容，我们得从两百多年前说起。1742年，哥德*在给欧拉的信中提出了他的猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中，给出了如今为人熟知的等价版本：任一大于2的偶数都是两个素数之和。例如：6=3+3；12=5+7....这看上去似乎很显然的猜想，要严谨证明，却很难很难。就连欧拉自己，也一直没有证明出来。之后的两百多年间，高斯、黎曼等众多数学家都研究过哥德*猜想，但都没有成功证明。哥德*猜想，成为了世界近代三大数学难题之一。1973年3月2日，陈景润发表了著名论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，证明了"1+2"，将哥德*猜想的证明推进了一大步，在国际上引起轰动，英国数学家给他写信，称赞道：“你，移动了群山。”他证明的这一数论定理，被命名为陈氏定理，通常又被称为"1+2"。这，就是墓碑造型的由来。
此外，这座墓碑位于维也纳*公墓，玻尔兹曼是著名的奥地利物理学家，他发展了统计力学，给出了热力学第二定律的统计解释。而墓碑最上方刻着的，是以他名字命名的，玻尔兹曼熵公式。在这个公式中，S代表热力学状态量熵，k代表玻尔兹曼常数，log是自然对数函数，而W是德语中概率(Wahrscheinlichkeit)的缩写，这里代表着在给定宏观态下，系统具有的所有微观状态数。我们用抛硬币来作类比，如果我有3枚相同的硬币，正面为数字，背面为花，同时抛出，最后可能出现的宏观结果是：如果最后是2枚数字面朝上，1枚花卉面朝上，那么花卉面朝上的这枚硬币，可能是3枚硬币中的任何一枚，所以一共有3种可能的微观情况。也就是说，表格中的宏观态2，对应了3种微观状态。所以，在热力学中，某一种宏观态，存在着很多种微观态的可能。这时候，我们就不难理解，为什么玻尔兹曼熵公式，被刻在了玻尔兹曼的墓碑上：这样一行精短的公式，却将宏观上"熵"的概念与热力学系统的微观状态数联系了起来，对之后统计物理学的发展起到了非常重要的推动作用。此外，它还阐明了熵的微观意义--熵是系统微观无序性的一种度量，微观状态数越大，对应的熵就越大。然而，墓碑背后的故事，却颇为令人惋惜。玻尔兹曼所处的年代，连原子论都尚未被广泛接受，可想而知，他的统计力学思想是十分超前的，以至于在当时并没有被物理学界广泛认可。由于长期的不被理解，玻尔兹曼晚年精神状况欠佳，情绪经常起伏不定，有了抑郁倾向。1906年9月5日，在与家人度假时，玻尔兹曼最终情绪失控，自缢身亡。如今，曾经被质疑的玻尔兹曼熵公式，已经被广泛应用在化学、生物、信息论等各个领域，用以研究从简单气体到复杂生物系统的一切行为。
位于德国哥廷根市公墓内，这座墓碑十分简单，除了马克斯·普朗克的名字外，连生卒年月都没有，只在最下面刻上了一行字：墓碑上刻着的，是普朗克常数，根据2017年CODATA公布的数据，目前国际上最权威的测量值是：不过，你可能发现了，墓碑上刻的单位是W·s，和我们现在最常用的J·s并不一致，但因为1J=1W·s，所以量纲其实是等价的。那么，普朗克常数，究竟从何而来呢？这一切，都和黑体辐射问题有关。1900年，在研究黑体辐射谱分布函数的过程中，普朗克发表论文，提出了核心假设：电磁波能量只能以量子化的形式发射，换句话说，能量只能是一个基本单位的整数倍，而这个基本单位就是：其中，v为辐射频率，h，就是普朗克常数。通过定义能量必须以离散的形式发射，普朗克在不知不觉中假设了光子的存在，物理界从此有了一门新的分支：量子物理学。因此，普朗克被称为量子力学之父，也获得了1918年的诺贝尔物理学奖。值得一提的是，1877年，玻尔兹曼其实是用下面的关系式来表示系统无序性的大小：普朗克则在1900年的这篇论文中，首次给出了我们上文提到的玻尔兹曼熵公式的形式(S=klogW)，并将常数k命名为玻尔兹曼常数，以示敬意。也就是说，我们刚刚看到的刻在玻尔兹曼墓碑上的公式，其实是普朗克写出来的...
作为对量子力学中波函数统计诠释的提出者，玻恩是量子力学的奠基人之一，在1925年与海森堡共同提出了量子力学的矩阵力学表述。墓碑上刻的，就是矩阵力学的基本公式：其中，p和q分别代表位置与动量矩阵，h是我们上文提到的普朗克常数，I则是单位矩阵。它描述的，是一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量矩阵满足的对易关系，亦称为强量子条件。其实初中时，我第一次看到这式子，实在是难以理解，为什么结果不是零？后来我才知道，是因为矩阵乘法并不满足交换律。就像你先穿袜子再穿鞋，和你先穿鞋再套袜子，最终结果是不等价的。那么，为什么，要将这个公式刻在玻恩的墓碑上呢？要知道，在那个时代，矩阵一般只存在于纯数学领域，还很少被物理学家使用，将矩阵的代数引入量子力学，可谓是开创性举动。这也是量子力学中，第一个在概念上且逻辑上一致的公式。
提及量子力学，似乎还总能想起那句：“上帝不掷骰子。”这句话，实际就来源于爱因斯坦写给玻恩的信中：（向上滑动启阅）致玻恩：量子力学固然是堂皇的。然而，我的内心中却有一道声音告诉我，它还不是那回事。这理论说了很多，但并没有真正带领我们，更加接近 '那位老头子' 的秘密。我，无论如何，深信 '那位老头子' 不是在掷骰子。--爱因斯坦1926年爱因斯坦和玻恩，是一辈子的挚友。自1916年始，他们的书信往来，横跨40年，即便后来分居欧美两州，亦未间断，直至，爱因斯坦在美国因病逝世。你也许要问，爱因斯坦的墓碑上刻了什么？爱因斯坦，没有墓碑。他在死前立下遗嘱：不立墓碑，骨灰撒在不为人知的地方。最后一块墓碑，在伦敦西敏寺。2018年，霍金长眠于此。其实，早在2002年，霍金就表示过，希望将他确定的黑洞熵公式刻在他的墓碑上。但是，最终墓碑上刻了艺术化的黑洞图案，而在左边嵌刻着的，却是霍金辐射的温度公式：该公式表明，黑洞的霍金辐射温度反比于黑洞质量M，比例系数由光速c、万有引力常数G、约化普朗克常数ħ和玻尔兹曼常数k组成。可是等等，这神秘的黑洞，到底是什么？我们知道，由于万有引力的存在，任何物体要脱离某个天体，必须达到一定的逃逸速度。而黑洞是一个密度足够大的天体，其产生的巨大引力，使得计算出的逃逸速度高于光速，也就是说：任何东西都逃不出黑洞，即便是黑洞自己发出的光，也无法逃逸出来。（所以，黑洞很黑...）然而，在上世纪70年代，霍金将广义相对论和量子理论相结合，考虑黑洞表面附近的量子场的真空涨落，预测：黑洞有热辐射！换句话说，黑洞并不是纯黑的，粒子可以从黑洞的视界逃逸出去，这就是霍金辐射理论。由于黑洞向外辐射，降低了黑洞的质量和旋转能量，因此理论上黑洞会不断缩小，并最终消失。2019年，人类首张黑洞图像不过，根据我们上面提到的霍金辐射温度公式，辐射温度与质量成反比，所以这种霍金辐射，对多数大黑洞而言，几乎可以忽略不计。其实，霍金提出该理论的时候，已经与"渐冻症"抗争了数十年。1979年，霍金在普林斯顿大学1959年，年仅17岁的斯蒂芬进入牛津大学学习。在上大学期间，霍金就发现自己变得越来越笨拙，连系鞋带都变得困难，甚至时常摔跤。最终，1963年，年仅21岁的霍金，被确诊为患有运动神经元疾病。几十年来，这种疾病缓慢而无情地侵蚀霍金的肌肉控制能力，最终霍金完全丧失语言能力，彻底瘫痪，全身只有三根手指可以活动。我们的印象中，也似乎都是他坐在轮椅中的样子，以至于我们忘了...曾经的霍金，阳光英俊，意气风发。患病前的青年霍金
清明时分，扫墓踏青，愿你能有不一样的感触。
