四个面均为全等的正三角形的三棱锥的内切球与外切球的体积之比

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1:8,

推导见下:

设正三棱锥的边长为a,找出正四面体的重心,重心到顶点的距离为外接圆半径,重心到面的距离为内接圆半径。

过顶点A做对应平面的垂线AE,垂足为点E,连接BE,在等边三角形BCD中易得BE=3分之根号3a,再在直角三角形ABE中,设重心为点F,连接BF。现在就易得AF=9分之二根号6a,EF=9分之一根号6a.

即:内接球半径等于9分之二根号6a,外接球半径等于EF=9分之一根号6a.

内接球半径与外接球半径的比值为1:2,所以显然体积之比为1:8.

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1比8

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